A K. 791. feladat (2023. december)

K. 791. \(\displaystyle a)\) Keressük meg az összes olyan háromjegyű számot, amely egyenlő számjegyei szorzatának négyszeresével.

\(\displaystyle b)\) Találunk-e olyan háromjegyű számot, amely egyenlő a számjegyei szorzatának kétszeresével?

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A keresett szám mindenképpen osztható 4-gyel, hiszen a számjegyek szorzatának négyszeresével egyenlő. Így az utolsó számjegye páros, de emiatt a számjegyek szorzatának négyszerese nemcsak 2-nek, hanem 8-nak is (és persze 4-nek is) többszöröse lesz. Tehát a keresett négyjegyű szám osztható 8-cal, az utolsó két számjegyéből álló kétjegyű szám pedig osztható 4-gyel. A szám nem tartalmazhat 0-t egyik helyiértéken sem, mert ebben az esetben a számjegyek szorzata 0 lenne. A számban 5-ös számjegy sem szerepelhet, mert ekkor a számjegyek szorzatának négyszerese 0-ra végződne, tehát a szám is 0-ra végződne.

Mivel egy háromjegyű szám legalább akkora, mint az első számjegyének 100-szorosa, ezért a három számjegy szorzatának négyszerese legalább az első számjegy szorzatának 100-szorosa, így a második két számjegy szorzata legalább 25. Emiatt az utolsó számjegy nem lehet 2.

Figyelembe véve az előzőekben mondott feltételt, és a 4-gyel oszthatóságot, az alábbi lehetséges értékeket kapjuk az utolsó két számjegyből álló számra:

\(\displaystyle 84, 76, 96, 48, 68, 88.\)

Mivel egy háromjegyű szám 1000-nél kisebb, ezért a számjegyek szorzata 250-nél kisebb. Figyelembe véve, hogy csak a 8-cal osztható számok felelhetnek meg, a szóba jöhető végződéseket az alábbi módon egészíthetjük ki egy első számjeggyel háromjegyű számmá:

\(\displaystyle 184, 384, 784,\)

\(\displaystyle 176, 376,\)

\(\displaystyle 296, 496,\)

\(\displaystyle 248, 448, 648,\)

\(\displaystyle 168, 368,\)

\(\displaystyle 288.\)

Ezeket a számokat például a számjegyek szorzata négyszeresének utolsó számjegyét ellenőrizve a 384 és a 648 kivételével kizárhatjuk. A két megmaradt szám közül csak a 384 felel meg, mert \(\displaystyle 3\cdot8\cdot4\cdot4=384\), viszont \(\displaystyle 6\cdot4\cdot8\cdot4=768\neq 648\).
Vagyis a 384 az egyetlen olyan szám, amely a feladat feltételeinek megfelel.

\(\displaystyle b)\) Az a) feladatban alkalmazott gondolatmenettel az alábbi következtetésekre juthatunk:

a keresett szám osztható 4-gyel, utolsó számjegye páros, egyik számjegye sem lehet 0 vagy 5, utolsó két számjegyének szorzata legalább 50.

Ez utóbbi feltétel kizárja a 0, 2, 4-re végződő számokat, a 6-ra végződők közül csak a 96-ra, a 8-ra végződők közül csak a 78, 88, 98-ra végződők jöhetnek szóba, de a 4-gyel oszthatóság miatt csak a 96 és a 88 marad meg lehetőségként.

Mivel a 96-os végződés esetén a számnak 9-cel oszthatónak kell lenni (a számjegyek szorzata osztható 9-cel), ezért csak a 396 jöhet szóba. Ez nem teljesíti az eredeti feltételt, mert \(\displaystyle 3\cdot9\cdot6\cdot2 = 324\).

A 88-as végződés esetén a számjegyek szorzata 8-cal mindenképpen osztható, így csak a 288, 488, 688, 888 merül fel lehetőségként. A számjegyek szorzatának kétszerese ezek esetében rendre \(\displaystyle 4\cdot64\), \(\displaystyle 8\cdot64\), \(\displaystyle 12\cdot64\) és \(\displaystyle 16\cdot64\), ezek közül csak a \(\displaystyle 12\cdot64\) végződik 8-ra, de \(\displaystyle 12\cdot64 = 768\), így nem találunk a feltételnek megfelelő háromjegyű számot.

Megjegyzés: Ha az a) feladatban a számjegyek szorzatának 5-szörösét keressük, akkor talán kevesebbre lehet redukálni az esetek számát. Megmutatható, hogy minden számjegy páratlan, így az utolsó számjegy 5, és a szám osztható 25-tel is, tehát csak 75-re végződhet. Ilyen szám négy van, a 175, 375, 575, 975, ezek közül a 175 felel meg egyedül.

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csabai Samu, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Máté Kristóf, Németh Ábel, Pázmándi Renáta , Roszik Szabolcs, Schmidt Marcell, Szalóki Árpád, Szedmák Szabrina, Székely Belián, Szőke János, Viczián Adél.
4 pontot kapott:	Araguas Mátyás, Chen Peidong, Farkas Simon, Károly Kamilla , Válek Péter.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	32 dolgozat.

A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai