A K. 800. feladat (2024. február)

K. 800. Négy különböző pozitív prímszám összege \(\displaystyle 50\). Melyik négy prímszám lehet ez?

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. A 2 biztosan nem szerepel a prímek között, mert akkor páratlan lenne az összegük.

A prímszámok 48-ig: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

A legkisebb prímszám közülük legfeljebb 7 lehet, mert \(\displaystyle 11+13+17+19>50\).

Ha a 7 a legkisebb: 7+11+13+17=48 a legkisebb elérhető összeg, amit 2-vel kell növelnünk, hogy megfelelő legyen és erre az egyetlen lehetőség a 7, 11, 13, 19 választás.

Ha az 5 a legkisebb, akkor a másik három prímszám összege 45.

A legnagyobb szereplő prím szerint keressük meg az összes lehetőséget.

43, 41 nyilván nem lehet a legnagyobb. 37+3+5 (nem megfelelő, mert 3 a legkisebb és az 5 kétszer szerepel). 31+7+7 (nem megfelelő), 29+3+13 (nem megfelelő), 29+5+11 (nem megfelelő), 23+3+19 (nem megfelelő), 23+5+17 (nem megfelelő) 23+11+11 (nem megfelelő).

19+7+19 (nem megfelelő), 19+13+13 (nem megfelelő). 17+11+17 (nem megfelelő).

Tehát nem találtunk olyan megfelelő prímnégyest, melyben az 5 a legkisebb.

Ha a 3 a legkisebb, akkor a másik három prímszám összege 47.

Mivel a következő két prím összege 5+7=12, így a szereplő legnagyobb prím legfeljebb 35 lehet.

31+5+11 (jó), 29+5+13 (jó), 29+7+11 (jó), 23+5+19 (jó), 23+7+17 (jó), 23+11+13 (jó), 19+11+17 (jó).

Összesen tehát nyolc megfelelő prímszámnégyest találtunk:

7+11+13+19, 3+5+11+31, 3+5+13+29, 3+7+11+29, 3+5+19+23, 3+7+17+23, 3+11+13+23, 3+11+17+19.

2. (alternatív) megoldás. Legyenek a feladatban szereplő különböző pozitív prímszámok \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\), \(\displaystyle r\), \(\displaystyle s\). Nem sérti az általánosságot, ha feltesszük, hogy

amelyekre a feltétel szerint teljesül, hogy

ahol a \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\), \(\displaystyle r\), \(\displaystyle s\) prímek mindegyike a

\(\displaystyle 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\, 13,\, 17,\, 19,\, 23, \,29,\, 31,\, 37,\, 41,\, 43,\, 47\)

prímek közül kerül ki, hiszen ezek fordulnak elő \(\displaystyle 50\)-ig.

A legkisebb prím \(\displaystyle p\), és ez nem lehet \(\displaystyle 2\), mert akkor \(\displaystyle q+r+s=48\), de a \(\displaystyle 48\) nem lehet \(\displaystyle 3\) darab páratlan prímszám összege.

A feladat megoldását a továbbiakban az (1) egyenlőtlenségeknek megfelelően a legkisebb prímszám megkeresésére alapozzuk.

Világos, hogy \(\displaystyle p\leq 7\), hiszen \(\displaystyle p>7\) esetén a \(\displaystyle 7\)-nél nagyobb négy legkisebb prím összegére

\(\displaystyle 11+13+17+19=60,\)

és ez ellentmond (2)-nek. Ezért elegendő a

\(\displaystyle p=3,\quad p=5,\quad p=7\)

esetek vizsgálata.

I. eset. Ha \(\displaystyle p=3\). akkor (2) szerint \(\displaystyle q+r+s=47\) és az összeadandó prímek közül a legkisebb \(\displaystyle q\). Ha most \(\displaystyle q=5\), akkor \(\displaystyle r+s=42\), és ez csak a következő esetekben állhat fenn:

\(\displaystyle r+s=11+31=42,\quad r+s=13+29=42,\quad r+s=19+23=42,\)

a többi esetben \(\displaystyle r\), \(\displaystyle s\) közül legalább az egyik nem prímszám, továbbá nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle r>19\) nem lehetséges, hiszen \(\displaystyle r<s\) és \(\displaystyle r+s=42\).

Ha pedig \(\displaystyle q=7\), akkor \(\displaystyle r+s=40\), egyszerű számolással láthatjuk, hogy ez az összeg csak az

\(\displaystyle r+s=11+29=40,\quad r+s=17+23=40\)

esetekben fordulhat elő, és az is nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle r>17\) nem ad megoldást.

A \(\displaystyle q=11\) esetben \(\displaystyle r+s=36\), ez csak a következőképpen lehetséges:

\(\displaystyle r+s=13+23=36,\quad r+s=17+19=36,\)

és \(\displaystyle r>17\) már nem ad megoldást, mert \(\displaystyle r<s\).

A \(\displaystyle q\geq 13\) nem fordulhat elő, mert már \(\displaystyle q=13\)-ra is \(\displaystyle r+s=34\) és \(\displaystyle r>q\) miatt \(\displaystyle r\geq 17\), ugyanakkor (1) miatt \(\displaystyle r<s\).

II. eset. Ha a legkisebb prímre \(\displaystyle p=5\), akkor (2) miatt \(\displaystyle q+r+s=45\). Az összegben szereplő prímek közül a legkisebb \(\displaystyle q\), amelyre egyrészt \(\displaystyle q\geq 7\), ugyanakkor \(\displaystyle q<13\), utóbbi nyilván azért, mert már \(\displaystyle q=13\) esetén is \(\displaystyle r+s=32\), és ebben az összegben \(\displaystyle r\) legalább \(\displaystyle 17\), de akkor nem teljesülne, hogy \(\displaystyle r<s\).

Eszerint csak a \(\displaystyle q=7\) és \(\displaystyle q=11\) lehetőségeket kell megvizsgálni, ekkor \(\displaystyle r+s=38\), illetve \(\displaystyle r+s=34\). Számolással egyszerűen belátható, hogy egyik esetben sem kapunk a feltételeknek megfelelő megoldást, mert az összeadandó \(\displaystyle r\), \(\displaystyle s\) számok közül legalább az egyik nem prím, vagy \(\displaystyle r<s\) nem áll fenn. Ebből az következik, hogy \(\displaystyle p\neq 5\).

III. eset. A \(\displaystyle p=7\) prím esetén \(\displaystyle q+r+s=43\). Ebben az összegben a legkisebb prímre az (1) feltétel miatt \(\displaystyle q\geq 11\)-nek kell teljesülnie. A \(\displaystyle q=11\) értéket választva \(\displaystyle r+s=32\), ez csak egyféle módon, az

\(\displaystyle r+s=13+19=32\)

alakban írható fel, mert a többi esetben nem teljesül, hogy \(\displaystyle q<r<s\). Ebből világosan látható, hogy \(\displaystyle q>11\) sem lehetséges.
Minden esetet megvizsgáltunk és összesen \(\displaystyle 8\), a feladat minden feltételének eleget tevő megoldást kaptunk, ezeket a következő táblázatban foglaltuk össze:

Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Chen Peidong, Csáki Anikó, Fülöp Magdaléna, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Kóródy Vera, Kriston Regő Márton, Olajos Anna, Pázmándi Renáta , Sajó Marcell 16, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Tóth Bálint Levente, Viczián Adél.
4 pontot kapott:	Csabai Samu, Farkas Simon, Gáti Benjamin, Juhász Gergely, Kámán-Gausz Péter, Kőhidi Kata, Kubica Ádám, Máté Kristóf, Miskolci Ábel, Német 964 István , Németh Ábel, Péterfia Kamilla, Piller Zsófia, Pintér Lilianna, Sárvári Vanda, Sipos Dániel Sándor, Sipos Levente, Szabó Medárd, Szedmák Szabrina, Válek Péter.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	43 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai