Problem K. 825. (October 2024)

K. 825. 4202 points are given in the plane. Is it always possible to find a circle such that it contains none of the given points, and it contains exactly 2024 of them in its interior?

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vegyük a \(\displaystyle 4202\) pontból kiválasztható összes pontpár által meghatározott szakaszok felezőmerőlegeseit. Ez véges sok egyenes, ezért van a síknak olyan pontja, amely ezek közül egyiken sincs rajta; legyen egy ilyen pont \(\displaystyle K\). Mivel egyik felezőmerőleges sem tartalmazza, ezért \(\displaystyle K\)-nak a \(\displaystyle 4202\) ponttól vett távolsága mind különböző. Vegyük ezen távolságok közül nagyságrendi sorrendben a legkisebbtől felfelé haladva a \(\displaystyle 2024\). és \(\displaystyle 2025\). értéket. Ha olyan kört rajzolunk, amelynek sugara ezen két távolság közé esik, és középpontja \(\displaystyle K\), ezen a körön belül pontosan \(\displaystyle 2024\) db pont lesz.

Statistics:

107 students sent a solution.
5 points:	Csík Zoltán Richárd, Győrffy Csanád, Holló Barnabás, Kudomrák Lili Anna , Kun Milán, Laczó Zoltán, Lovas Márk, Máté Zsófia, Mátyás Levente, Medgyesi András, Mikó Petra, Pászti Sámuel, Patócs 420 Péter, Pocsay Bence Máté, Radošická Emma, Rózsa Péter, Scott Elizabeth, Verebély Dániel.
4 points:	Bloemsma Péter Sándor, Chen Zhibo, Fehér Ádám, Fórján Bernát, Hollósi Dominik, Martin-Hajdu Péter, Mikesz Milán, Szabados Ákos, Xu Jianan, Zsilák Márk Péter.
3 points:	4 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	57 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	14 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2024