Problem K. 826. (October 2024)

K. 826. Prove that if the product of 7 consecutive positive integers is divisible by 1000, then it's possible to choose 3 of them such that their product is also divisible by 1000.

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle 1000 = 2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot5\), ezért a három kiválasztott számnak számnak összesen három \(\displaystyle 2\)-est és három \(\displaystyle 5\)-öst tartalmazna kell prímtényezőként. A hét egymást követő szám között mindenképpen egy vagy két \(\displaystyle 5\)-tel osztható. Mivel a szorzatuk osztható \(\displaystyle 125\)-tel, ezért ha két \(\displaystyle 5\)-tel osztható van közöttük, akkor az egyik \(\displaystyle 5\)-tel osztható számnak \(\displaystyle 25\)-tel is oszthatónak kell lennie, különben a hét szám szorzata nem lenne osztható \(\displaystyle 125\)-tel. A két \(\displaystyle 5\)-tel osztható szám közül az egyik páros, a másik páratlan, mert különbségük \(\displaystyle 5\), vagyis páratlan szám. A hét szám között biztos van három egymás utáni páros szám, így ezek között biztosan van \(\displaystyle 4\)-gyel osztható is.

Ha tehát a két \(\displaystyle 5\)-tel osztható szám közül a páros \(\displaystyle 4\)-gyel is osztható, akkor ezt a két \(\displaystyle 5\)-tel osztható számot és még egy (bármely) páros számot kiválasztva három olyat kapunk, melyek szorzata osztható \(\displaystyle 1000\)-rel.

Ha a két \(\displaystyle 5\)-tel osztható szám közül a páros \(\displaystyle 4\)-gyel nem osztható, akkor ezt a két \(\displaystyle 5\)-tel osztható számot és még egy \(\displaystyle 4\)-gyel is osztható páros számot kiválasztva három olyat kapunk, melyek szorzata osztható \(\displaystyle 1000\)-rel.

Ha csak egy \(\displaystyle 5\)-tel osztható szám van a hét egymást követő között, akkor az szükségképpen osztható \(\displaystyle 125\)-tel. Így ezt a számot és a három páros szám közül egy \(\displaystyle 4\)-gyel is oszthatót meg egy másikat kiválasztva lesz legfeljebb három számunk, amiknek a szorzata osztható \(\displaystyle 1000\)-rel. Ha ez csak két szám, mert az egyik páros pont a \(\displaystyle 125\)-tel is osztható, akkor persze bármelyik eddig nem kiválasztottat hozzájuk vehetjük harmadiknak.

Statistics:

126 students sent a solution.
5 points:	Cseres-Gergely Kinga, Csík Zoltán Richárd, Hajdu Vince, Holló Barnabás, Leitner-Takács Bende, Lovas Márk, Molnár Levente, Mosonyi Mátyás, Pásztor Lea Kata, Rózsa Péter, Szighardt Anna.
4 points:	Bálint Barnabás, Bloemsma Péter Sándor, Fehér Ádám, Felföldi Zsófia, Fórján Bernát, Győrffy Csanád, Havasi Dominik, Izsa Ferenc Gergő, Kudomrák Lili Anna , Majer Veronika, Máté Zsófia, Medgyesi András, Molnár Boldizsár, Pászti Sámuel, Patócs 420 Péter, Péter Tamás, Pocsay Bence Máté, Radošická Emma, Szabados Ákos, Verebély Dániel, Zsilák Márk Péter.
3 points:	10 students.
2 points:	19 students.
1 point:	26 students.
0 point:	25 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	14 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2024