Problem K. 829. (November 2024)

K. 829. Find the two smallest consecutive positive integers, adding the digits of which we get exactly 2024.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Biztosan van a számban tízes átlépés, mert ha nem lenne, akkor a számjegyek összege páratlan lenne, hiszen ekkor az utolsó számjegy 1-gyel nő, míg a többi nem változik, így a többi számjegy összege páros, a két utolsó számjegy összege pedig páratlan.

A kisebb szám 9-re végződik, így az 1-gyel nagyobb számban az egyesek helyiértékén 0, a tízesek helyiértékén 1-gyel nagyobb szám áll, mint a kisebb számban. Ha a kisebb szám nem 99-re végződik, akkor a számjegyeinek összege 8-cal nagyobb, mint a kisebb számé. Különben viszont a \(\displaystyle \ldots99\) végződésből \(\displaystyle \ldots.00\) lenne, ezért a 2024 számjegyösszeghez több számjegyre lenne szükség a több 0 miatt, azaz ebben az esetben nem a legkisebb számokat kapnánk. Ezek miatt tehát a kisebb számban a számjegyek összege \(\displaystyle (2024+8):2 =1016\).

Mivel a legkisebb ilyen számokat keressük, így a lehető legkevesebb számjegyet szeretnénk, ezért a legnagyobb (9-es) számjegyeket kell használnunk. Mivel \(\displaystyle 1016=9\cdot112+8\), ezért 112 db 9-es és egy 8-as számjegy szerepel a kisebb számban, mégpedig úgy, hogy ne 99-re végződjön. Ekkor egyetlen és legjobb lehetőségünk a kisebb számra \(\displaystyle 999\ldots9989\), melyben a 8-as előtt 111 db 9-es áll.

Statistics:

112 students sent a solution.
5 points:	Fórján Bernát, Győrffy Csanád, Havasi Huba László, Hollósi Dominik, Lovas Márk, Mátyás Levente, Molnár Levente, Mosonyi Mátyás, Pászti Sámuel, Patócs 420 Péter, Péter Tamás, Radošická Emma, Rózsa Péter.
4 points:	Bálint Barnabás, Barta Zsófia, Bloemsma Péter Sándor, Chen Zhibo, Hajdu Vince, Havasi Máté Pál, Holderith Anna, Holló Barnabás, Huang Han, Koós Tamás, Kovács Domonkos, Kudomrák Lili Anna , Kun Milán, Leitner-Takács Bende, Makra Zóra Liliána, Máté Zsófia, Medgyesi András, Mikó Petra, Orosz Borostyán, Pásztor Lea Kata, Petrik Kata, Pocsay Bence Máté, Szabó Bence, Szabó Milos Farkas, Szighardt Anna, Zsilák Márk Péter.
3 points:	15 students.
2 points:	13 students.
1 point:	4 students.
0 point:	15 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	19 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2024