Problem K. 83. (March 2006)

K. 83. Consider a convex hexagon in the plane with four distinct points given in its interior, such that no three points out of the vertices of the hexagon and the four given points lare collinear. The hexagon is dissected into triangles, such that the vertices are those of the hexagon and the given points. (All the 10 points must be used.) Show that the number of triangles obtained is always 12.

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Számítsuk ki a kapott háromszögek szögeinek összegét! Ezek a szögek egyrészt a hatszög szögeit, másrészt pedig a belső pontok körüli teljesszöget ,,töltik ki'', tehát összegük 720^o+4^.360^o=2160^o, ami éppen 12 db háromszög szögeinek összege. Tehát 12 darab háromszög keletkezett.

Statistics:

74 students sent a solution.
6 points:	Bárány Dávid, Bereczki 118 Katalin, Besnyő Réka, Fördős András, Gévay Gábor, Huszár Kristóf, Iván Dávid, Izsó Dániel, Király Csilla, Kunos Ádám, Petrik Laura, Róka Péter, Schönek Barnabás, Szabó 313 Gábor, Szabó 963 Noémi, Szerb Anna, Szikszay László, Zsupanek Alexandra.
5 points:	Garancsy Máté, János Júlia Zsófia.
2 points:	3 students.
0 point:	48 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2006