Problem K. 840. (January 2025)
K. 840. The digital digits are made of small hexagons. For 0 we need six hexagons, for 1 we need two, for 2 we need five etc. How many pairs of consecutive positive integers are there the representation of which using digital digits contain the same number of hexagons?
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás.
| szám | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| hatszögek száma | 6 | 2 | 5 | 5 | 4 | 5 | 6 | 3 | 7 | 6 |
Ha a számszomszédok esetében nincsen tízes átlépés, akkor csak az utolsó számjegyükben különböznek, tehát ezeknek kell azonos számú hatszögből felépülniük. Az egyetlen ilyen számpár a 2 és 3, így megfelelő minden olyan számszomszéd, melyek közül a kisebb 2-re, a nagyobb pedig 3-ra végződik. (2-3, 12-13, 22-23, 32-33, \(\displaystyle \ldots\), 1462-1463, \(\displaystyle \ldots\))
Ha a szám 9-re végződik, és így van tízes átlépés, akkor az utolsó számjegyből 0 lesz az egyesek helyiértékén és ott a hatszögek száma így nem változik (6 db volt és 6 db lesz). Ha esetleg több 9-esre végződik a szám, akkor is megmarad ezeken a helyiértékeken a hatszögek száma, mert mindenhol 9-ből 0-lesz.
Így az utolsó nem 9-es számjegy előtti számjegy és a nála 1-gyel nagyobb szám ugyanannyi hatszögből kell, hogy álljon, ami csakis a 2 és a 3 lehet.
Tehát van még rengeteg (végtelen sok) megfelelő szám. Ezek a számok néhány 9-esre végződnek és előttük 2 van, a 2-es előtt pedig bármilyen számcsoport. Pl: 29-30, 56729999-56730000, 111111299999999-111111300000000, stb.
Statistics:
107 students sent a solution. 5 points: Cseres-Gergely Kinga, Elekes Emma, Győrffy Csanád, Hajdu Vince, Harangozó Bálint, Holló Barnabás, Hörich Dominik, Huang Han, Kása Richárd Zsolt, Korbely Ádám , Kun Milán, Lay Kristóf, Leitner-Takács Bende, Lovas Márk, Majer Veronika, Makra Zóra Liliána, Máté Zsófia, Medgyesi András, Mészáros Kristóf, Miskolczi Dóra, Mosonyi Mátyás, Pásztor Lea Kata, Patócs 420 Péter, Péter Tamás, Pocsay Bence Máté, Rácz Koppány Bendeguz, Radošická Emma, Raschek Vince, Rózsa Péter, Škerlec Denis , Söderberg Kajsa, Szabados Ákos, Szabó Anita, Szabó Milos Farkas, Vámos Lili, Verebély Dániel. 4 points: 25 students. 3 points: 4 students. 2 points: 7 students. 1 point: 12 students. 0 point: 8 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 13 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2025