Problem K. 861. (May 2025)

K. 861. A group of eight friends wants to organize a tarot championship. In each game, four players take part, and any pair from the eight friends plays the same number of games. Prove that there will be more than 13 games in the championship.

Proposed by: Zoltán Paulovics, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle m\) két játékos (hívjuk ezentúl párosnak) közös partijainak, \(\displaystyle n\) pedig az összes partinak a számát. Mivel mind az \(\displaystyle n\) partiban \(\displaystyle \binom{4}{2}\) páros szerepelt, továbbá mind a \(\displaystyle \binom{8}{2}\) páros \(\displaystyle m\) parti során játszott egyszerre, így \(\displaystyle \binom{4}{2} \cdot n = \binom{8}{2} \cdot m\). Rendezve az egyenlőséget: \(\displaystyle 3n=14m\), ahol \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle m\) pozitív egészek. Ebből \(\displaystyle 3|m\) és \(\displaystyle m\geq 3\) miatt \(\displaystyle n\geq 14\).

Mutatunk egy konstrukciót, hogy a 14 tényleg megvalósítható. Jelölje \(\displaystyle A, B, C, D, E, F, G, H\) az embereket, ekkor az egyes partikban résztvevők lehetnek:

\(\displaystyle \{ A, B, C, D\}, \{ C, D, E, F\}, \{ E, F, G, H\}, \{ A, B, E, F\}, \{ A, B, G, H\}, \{ A, C, E, G\}, \{ A, C, F, H\}, \linebreak \{ A, D, E, H\}, \{ A, D, F, G\}, \{ B, C, E, H\}, \{ B, C, F, G\}, \{ B, D, E, G\}, \{ B, D, F, H\}, \{ C, D, G, H\}.\)

Statistics:

47 students sent a solution.
5 points:	Izsa Ferenc Gergő.
4 points:	Abonyi Gábor, Balla Botond, Barta Zsófia, Chen Zhibo, Csík Zoltán Richárd, Fórján Bernát, Győrffy Csanád, Hajdu Vince, Holló Barnabás, Imolya Mirella Petra, Jancsurák Flóra, Kása Richárd Zsolt, Kudomrák Lili Anna , Laczó Zoltán, Lovas Márk, Makra Zóra Liliána, Máté Zsófia, Máthé Csongor Örs, Mátyás Levente, Medgyesi András, Mikesz Milán, Molnár Levente, Nagy Alexander, Patócs 420 Péter, Péter Tamás, Rózsa Péter, Škerlec Denis , Szighardt Anna, Takács András Bende , Zsilák Márk Péter.
3 points:	9 students.
2 points:	1 student.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2025