A K. 95. feladat (2006. október)

K. 95. A 3×3-as sakktábla mezőibe úgy írtunk egy-egy számjegyet, hogy bármely mezőről L-alakban (ahogyan a huszár lép) csúsztatva a bábut a négy érintett mezőn levő szám összege mindig ugyanaz az érték. Hányféleképpen tölthető ki ilyen módon a sakktábla, ha minden mezőre írtunk egy, a többitől nem feltétlenül különböző számjegyet?

(6 pont)

A beküldési határidő 2006. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjunk a kilenc mezőbe betűket.

a+d+e+f=g+d+e+f, így a=g. Hasonlóan megmutatható, hogy a=g=i=c. Továbbá a+d+g+h=b+a+d+g, így b=h. Hasonlóan megmutatható, hogy d=f. Továbbá d+e+f+c=h+e+b+c, így b=h és d=f miatt 2d=2h tehát d=h. Ez viszont azt jelenti, hogy d=h=f=b. Továbbá a+d+g+h=a+b+e+h, így a=e. Ezek alapján a megfelelő kitöltéshez egy vagy két számjegyet használhatunk fel összesen. Két számjeggyel való kitöltésre 90 (mert számít, hogy melyik számjegy kerül a sarkokba és középre, és melyik a maradék helyekre), egy számjeggyel való kitöltésre 10 lehetőségünk van. Az összes megfelelő kitöltések száma tehát 100.

Statisztika:

202 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bognár Barna, Boros 001 Ágnes, Budai Barbara, Csere Kálmán, Fialowski Melinda, Grőger Tímea, Gyóni Dorottya, Harangozó Klára, Kircsi Lajos, Kiss Dávid, Kitzinger Andor, Kovács 472 Nóra Beáta, Kovács 729 Gergely, Kovács Anita, Major Bálint István, Mihálka Éva Zsuzsanna, Nagy 555 Balázs, Palágyi Árpád, Poócza Eszter, Scharle András, Südi Anna, Tóth Barbara, Vesztergombi Júlia.
5 pontot kapott:	Fekete Gréta, Gerlei Klára Zsófia, Hortobágyi Réka, Kókai Mariann, Lantos Dániel, Lénárt Tamás, Minya Fanni, Nagy Klaudia, Székely Anna Krisztina, Széplaki Zita, Sziráky Flóra, Tölgyesi Péter, Tutor Gábor, Zlatniczki Lilla.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	76 versenyző.
2 pontot kapott:	27 versenyző.
1 pontot kapott:	29 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai