Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A P. 4785. feladat (2015. december)

P. 4785. A Tejútrendszer az úgynevezett spirális galaxisok közé tartozik. Alakját közelíthetjük egy, az átmérőjéhez képest csekély vastagságú, állandó sűrűségű koronggal, amelynek ,,alja'' és ,,teteje'' között a Nap harmonikus rezgőmozgást végez.

Mekkora a rezgés periódusideje, ha a galaxis átlagsűrűsége \(\displaystyle 5{,}8\cdot 10^{-21}~{\rm kg/m}^3\)?

Közli: Forman Ferenc, Cambridge, UK

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A Newton-féle gravitációs törvény és a Coulomb-törvény közötti analógiát felhasználva megfogalmazható a Gauss-féle fluxustörvény gravitációs megfelelője:

\(\displaystyle \sum g(\boldsymbol r)\Delta A= -4\pi\gamma M,\)

ahol \(\displaystyle M\) egy bizonyos térrészben található anyag össztömege, \(\displaystyle \Delta A\) a térrészt határoló zárt felület kicsiny darabkáinak területe, \(\displaystyle g(\boldsymbol r)\) pedig a gravitációs gyorsulás (egységnyi tömegre ható gravitációs erő) felületre merőleges (kifelé mutató) komponensének nagysága. Alkalmazva ezt a törvényt a galaxis középsíkjára szimmetrikusan elhelyezkedő, \(\displaystyle 2x\) szélességű és \(\displaystyle A\) területű, tehát \(\displaystyle 2Ax\varrho\) tömegű darabjára:

\(\displaystyle g(x)\cdot 2A= -4\pi\gamma\cdot 2Ax\varrho,\)

ahonnan

\(\displaystyle g(x)= - {4\pi\gamma\varrho}\cdot x\equiv -\frac{D}{m} \, x.\)

(\(\displaystyle m\) a Nap tömegét jelöli.) Ez a harmonikus rezgőmozgás mozgásegyenlete, hiszen

\(\displaystyle ma(x)=mg(x)=-Dx,\)

és a rezgés periódusideje:

\(\displaystyle T= {2\pi} \sqrt{\frac{m}{D}}=\sqrt{\frac{\pi}{\gamma \varrho}}=2{,}8\cdot10^{15}~\text{s}\approx 90~\text{millió év}. \)


Statisztika:

27 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Asztalos Bogdán, Balogh Menyhért, Bartók Imre, Blum Balázs, Csenger Géza, Csire Roland, Elek Péter, Forrai Botond, Ghada Alshalan, Iván Balázs, Juhász 326 Dániel, Kovács Péter Tamás, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pázmán Előd, Sal Kristóf, Szentivánszki Soma , Szick Dániel, Szőke Dániel, Tófalusi Ádám, Tomcsányi Gergely.
4 pontot kapott:Büki Máté, Di Giovanni András, Kasza Bence, Körmöczi Dávid, Pszota Máté.

A KöMaL 2015. decemberi fizika feladatai