A P. 4817. feladat (2016. február)

P. 4817. Egy kutya gazdája a partra merőlegesen 5 méterre bedob egy labdát a folyóba. A víz sebessége 0,3 m/s, a kutya a vízhez képest 0,5 m/s sebességgel tud úszni.

\(\displaystyle a)\) Hol és mennyi idő múlva éri utol a kutya a labdát, ha a labda vízbe érkezésekor a vízbe veti magát, és állandóan a labda felé úszik?

\(\displaystyle b)\) Miután a kutya elérte a labdát, azonnal a gazda felé indul, és egyenes vonalú, egyenletes mozgással kiúszik a partra úgy, hogy a parthoz képesti sebessége mindig a gazda felé mutat. A labda elérése után mennyi idővel adja vissza a labdát a kutya a gazdinak?

\(\displaystyle c)\) A gazdi az előzővel megegyező módon újra bedobja a labdát a vízbe. A kutya ugyanúgy utoléri, de ezután görbe vonalú mozgással úgy úszik, hogy a vízhez képesti sebessége mindig a gazdája felé mutat. A labda elérése után mennyi idővel adja vissza a labdát a kutya a gazdinak? (Útmutatás: Érdemes összehasonlítani a kutya és a gazda közötti távolság változásának sebességét a kutya sebességének vízfolyás irányú komponensével.)

Melyik esetben jut vissza a labda hamarabb a gazdihoz, és mekkora ez az időkülönbség?

Nagy László (1931-1987) feladata nyomán

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Az vízhez rögzített koordináta-rendszerben a labda áll, a kutya pedig 0,5 m/s sebességgel úszik, az 5 méteres távolságot tehát 10 s alatt teszi meg. Ezalatt a labda a parthoz viszonyítva 3 m-t mozdul el.

\(\displaystyle b)\) Jelöljük a kutya vízhez viszonyított) sebességének a folyásiránnyal ellentétes komponensét \(\displaystyle v_1\)-gyel, a part felé mutató sebességkomponenst pedig \(\displaystyle v_2\)-vel. A megadott feltételek szerint (az SI-beli mértékegység elhagyásával) fennáll:

\(\displaystyle v_1^2+v_2^2=0{,}25 \qquad \text{és} \qquad \frac{v_1-0{,}3}{v_2}=\frac{3 }{5 }=0{,}6.\)

Ennek az egyenletrendszernek egyik megoldása \(\displaystyle v_1=0, v_2=0{,}5\), ami annak felel meg, hogy a kutya folyamatosan távolodik a gazditól; ez számunkra érdektelen eset. A másik (fizikailag reális) megoldás:

\(\displaystyle v_1=0{,}441\qquad \text{és} \qquad v_2=0{,}235.\)

Ennek megfelelően a kutya egyenesen úszva \(\displaystyle T_1=5/v_2=21{,}3~\rm s\) idő alatt ér vissza a gazdájához.

\(\displaystyle c)\) Írjuk le a mozgást a vízhez rögzített koordináta-rendszerből! Innen nézve a kutya állóvízben \(\displaystyle v=0{,}5\) m/s sebességgel úszik gazdája felé, a gazdi pedig \(\displaystyle c= 0{,}3\) m/s sebességgel mozog a parton a víz folyásirányával ellentétes irányban. Ha a kutya pillanatnyi sebessége \(\displaystyle \alpha(t)\) szöget zár be a parttal, akkor a gazdi és a kutya közötti pillanatnyi \(\displaystyle r(t)\) távolság változási üteme:

\(\displaystyle \frac{\Delta r}{\Delta t}=-0{,}5+0{,}3\,\cos\alpha.\)

Legyen a kutya pillanatnyi helyzetének partra merőleges vetülete \(\displaystyle x(t)\) távolságra a kezdeti helyzetétől. Ennek a mennyiségnek változási sebessége:

\(\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta t}= 0{,}5\,\cos\alpha.\)

Mivel a kutya mozgása közben \(\displaystyle \alpha\) változik, \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle r\) meglehetősen bonyolult függvénye az időnek, meghatározásuk csak felsőbb matematikai eszközökkel lehetséges. Ha viszont kiküszöböljük a kezelhetetlen \(\displaystyle \cos\alpha\)-s tényezőt, a következő egyszerű egyenletet kapjuk:

\(\displaystyle \frac{\Delta (r-0{,}6x)}{\Delta t}=-0{,}5. \)

Az \(\displaystyle r-0{,}6x\) mennyiség tehát időben egyenletesen változik, és a kutya \(\displaystyle T_2\) ideig tartó visszaúszásának végén

\(\displaystyle r(T_2)-0{,}6x(T_2)=r(0)-0{,}6x(0)-0{,}5T_2.\)

Felhasználva, hogy

\(\displaystyle r(T_2)=0, \quad x(T_2)=3+0{,}3T_2, \quad r(0)=\sqrt{3^2+5^2}=5{,}83 \quad\text{és}\quad x(0)=0,\)

a keresett idő: \(\displaystyle T_2=23{,}8\) s, ami mintegy 2,5 másodperccel hosszabb, mintha egyenesen úszott volna a kutya.

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Asztalos Bogdán, Balogh Menyhért, Bekes Nándor, Blum Balázs, Büki Máté, Csenger Géza, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Forrai Botond, Iván Balázs, Kasza Bence, Kovács Péter Tamás, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Sal Kristóf, Szentivánszki Soma , Szick Dániel, Tomcsányi Gergely, Varga-Umbrich Eszter.
5 pontot kapott:	Molnár Mátyás.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. februári fizika feladatai