Problem P. 4857. (September 2016)
P. 4857. A uniform rod is hung at one end by means of a hinge. The rod is displaced to a horizontal position and then released.
\(\displaystyle a)\) Which will pass the vertical position first: the rod or a simple pendulum which has the same length as the rod?
\(\displaystyle b)\) At which position of the swinging rod will the direction of the acceleration of each moving point of the rod be horizontal?
Friction and air drag are negligible.
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2016.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Egy \(\displaystyle L\) hosszúságú rúd szögsebessége \(\displaystyle \varphi\) szögelfordulás után
\(\displaystyle \omega_\text{rúd}=\sqrt{\frac{3g}{L}\sin\varphi},\)
míg egy ugyanekkora hosszúságú fonálingáé:
\(\displaystyle \omega_\text{fonál}=\sqrt{\frac{2g}{L}\sin\varphi}.\)
(Ezeket az összefüggéseket az energiamegmaradás tételének felírása után kaphatjuk meg.)
Látható, hogy (az elindulást leszámítva) minden helyzetben
\(\displaystyle \omega_\text{rúd}>\omega_\text{fonál},\)
tehát a rúdinga hamarabb kerül függőleges helyzetbe, mint a fonálinga. (Nem volt ugyan kérdés, de kiszámíthatjuk, hogy az időtartamok, vagyis a lengésidők aránya \(\displaystyle \sqrt{2/3}\).)
\(\displaystyle b)\) A rúd szöggyorsulását \(\displaystyle \varphi\) szögelforduláshoz tartozó helyzetben a tömegközéppontra felírt forgómozgás egyenletéből, illetve a tömegközéppont érintő irányú mozgásegyenletéből kaphatjuk meg. Ha a csuklónál ható erő rúdra merőleges komponense \(\displaystyle F\), akkor
\(\displaystyle F\cdot \frac{L}{2}=\frac{1}{12}mL^2\cdot \beta,\)
illetve
\(\displaystyle mg\cos\varphi-F=m\frac{L}{2}\cdot \beta.\)
Ebből kifejezhető a szöggyorsulás:
\(\displaystyle \beta=\frac{3g}{2L}\cos\varphi.\)
A csuklótól \(\displaystyle x\) távolságban lévő pont függőleges gyorsulása akkor lesz nulla, ha
\(\displaystyle x\beta\cos\varphi-x\omega^2\sin\varphi=0.\)
Behelyettesítve \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \omega\) kiszámított kifejezését azt kapjuk, hogy a rúd valamennyi pontjának vízszintes irányú a gyorsulása, ha
\(\displaystyle \rm{tg}^2\varphi=\frac{1}{2},\qquad \text{vagyis}\qquad \varphi\approx 35{,}3^\circ.\)
Statistics:
96 students sent a solution. 5 points: Barabás Péter, Bartók Imre, Berke Martin, Bukor Benedek, Csenger Géza, Csire Roland, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Iván Balázs, Jakus Balázs István, Kovács 124 Marcell, Krasznai Anna, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Merkl Gergely, Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Náray Balázs, Németh 123 Balázs, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Póta Balázs, Sal Dávid, Szakály Marcell, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter, Zsombó István. 4 points: Di Giovanni András, Németh 777 Róbert, Németh Csaba Tibor, Pszota Máté, Turcsányi Ádám. 3 points: 13 students. 2 points: 12 students. 1 point: 8 students. 0 point: 27 students.
Problems in Physics of KöMaL, September 2016