A P. 4874. feladat (2016. november)

P. 4874. Egy kerékpáros a HÉV sínpályájával párhuzamos úton állandó \(\displaystyle v\) sebességgel halad. A vele egyirányban közlekedő vonatok \(\displaystyle t_1\) időközönként előzik meg, az ellenkező irányban közlekedőkkel pedig \(\displaystyle t_2\) időközönként találkozik. A vonatokat mindkét végállomásról azonos, egyenlő időközönként indítják. Mekkora átlagos sebességgel halad a HÉV, és hány percenként indítják a szerelvényeket?

(Adatok: \(\displaystyle v=14\) km/h, \(\displaystyle t_1=15\) perc, \(\displaystyle t_2=7{,}5\) perc.)

Közli: Óhegyi Ernő, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a HÉV szerelvények átlagsebességét \(\displaystyle c\)-vel és az indításuk között eltelő időt \(\displaystyle \Delta t\)-vel. (Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy a szerelvények egyenletesen mozognak, és a megállókban eltöltött idejük elhanyagolhatóan kicsi.)

Tekintsük először a kerékpárossal azonos irányban haladó HÉV-eket, és mérjük az időt at egyik találkozás pillanatától! A kerékpáros \(\displaystyle t_1\) idő alatt \(\displaystyle vt_1\) utat tesz meg a következő találkozás helyszínéig, a következő szerelvény pedig, amelyik \(\displaystyle \Delta t\)-vel kevesebb idő alatt teszi meg ugyanezt az utat:

\(\displaystyle vt_1=c(t_1-\Delta t),\qquad \text{vagyis}\qquad \frac{\Delta t}{t_1}=1-\frac{v}{c}.\)

Hasonló megfontolással a vele szemben haladó szerelvényekre felírható:

\(\displaystyle vt_2=c( \Delta t-t_2),\qquad \text{azaz}\qquad \frac{\Delta t}{t_2}=1+\frac{v}{c}.\)

A fenti két egyenletet elosztva egymással ezt kapjuk:

\(\displaystyle \frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}=\frac{t_2}{t_1}=\frac{1}{2}, \)

ahonnan a HÉV szerelvények sebességére

\(\displaystyle \frac{v}{c}=\frac{1}{3},\qquad \text{tehát}\qquad c=42~\frac{\rm km}{\rm h}\)

adódik, az indítási időkülönbségekre pedig

\(\displaystyle \Delta t=\frac{2t_1t_2}{t_1+t_2}=10~\text{perc},\)

ez a \(\displaystyle t_1\) és \(\displaystyle t_2\) időtartamok harmonikus középértéke.

Megjegyzés: Ha nem kötjük ki, hogy a szerelvények sebessége állandó, hanem \(\displaystyle c\)-t (a megállóknál töltött időt is beszámítva) átlagsebességnek tekintjük, továbbá a \(\displaystyle t_1\), \(\displaystyle t_2\) időközöket is átlagértékként értelmezzük, a fentivel megegyező eredményt kapunk.

Statisztika:

119 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	94 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2016. novemberi fizika feladatai