Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 4876. feladat (2016. november)

P. 4876. Egy vízszintes tengelyű, rögzített cső bal oldali részének belső keresztmetszete \(\displaystyle A\), a jobb oldali résznek pedig \(\displaystyle kA\) a keresztmetszete, ahol \(\displaystyle k<1\) (pl. \(\displaystyle k=\frac{1}{5})\). A két rész az ábrán látható módon törésmentesen (,,simán'') csatlakozik egymáshoz. A csőben \(\displaystyle \varrho\) sűrűségű, elhanyagolható belső súrlódású folyadék van, amelynek a bal oldali csőrészben lévő részét egy dugattyú segítségével kinyomhatjuk onnan. A csövet elhagyó vízsugár egy, a cső tengelyére merőleges falnak csapódik, és azon – fokozatosan elvékonyodó folyadékhártyát képezve – szétterül.

\(\displaystyle a)\) Mekkora állandósult sebességgel mozog a dugattyú, ha rá állandó, \(\displaystyle F\) nagyságú külső erő hat?

\(\displaystyle b)\) Mekkora erőt fejt ki a vízsugár a függőleges falra?

\(\displaystyle c)\) Mekkora vízszintes irányú erőt fejt ki a cső a rögzítésére?

Feltételezhetjük, hogy az áramlás időben állandó (stacionárius), és a gravitáció hatását a feladatban figyelmen kívül hagyhatjuk.

Közli: Sal Kristóf, UK, Cambridge

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.


Megoldás. A dugattyú viszonylag hamar (jó közelítéssel) egyenletesen fog mozogni. (Ez annál hamarabb következik be, minél kisebb \(\displaystyle k\) értéke. Ha \(\displaystyle k\rightarrow 1\), akkor nem alakul ki egyenletes mozgás, a dugattyú és a víz egyenletesen gyorsul.)

\(\displaystyle a)\) Jelöljük a dugattyú állandósult sebességét \(\displaystyle v\)-vel. A cső jobb oldali végénél kiáramló folyadék sebessége (a folyadék összenyomhatatlansága miatt) \(\displaystyle v/k\) lesz.

Tekintsük az áramló folyadékot valamelyik időpillanatban, illetve egy kicsiny \(\displaystyle \Delta t\) idővel később. A dugattyú elmozdulása ezalatt \(\displaystyle v\Delta t\), a külső erő munkája tehát

\(\displaystyle W=Fv\Delta t.\)

A csőből kiáramló folyadék tömege \(\displaystyle \Delta m=\varrho Av\Delta t\), sebessége \(\displaystyle v/A\), a teljes mozgási energia változása tehát

\(\displaystyle \Delta E=\frac{1}{2}\Delta m \left(\frac{v}{k}\right)^2-\frac{1}{2}\Delta m v^2.\)

(Úgy számolhatunk, mintha a dugattyú melletti \(\displaystyle \Delta m\) tömegű folyadékmennyiség \(\displaystyle v\) sebességről \(\displaystyle v/k\) sebességre gyorsult volna fel, és a folyadék többi részének sebessége nem változott volna.)

A munkatétel szerint \(\displaystyle W=\Delta E\), ahonnan

\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{F}{\varrho A}\,\frac{2k^2}{1-k^2}}.\)

Ha például \(\displaystyle k=\tfrac{1}{5}\), akkor

\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{F}{12\varrho A}}\approx 0{,}29\sqrt{\frac{F}{ \varrho A}}.\)

A dugattyú sebességét a

\(\displaystyle p+\varrho\frac{v^2}{2}+\varrho gh\)

Bernoulli-törvény felhasználásával is megkaphatjuk. A dugattyú közelében a folyadék nyomása \(\displaystyle p_0+\frac{F}{A}\), az áramlás sebessége pedig \(\displaystyle v\). A kiáramló folyadék nyomása a \(\displaystyle p_0\) külső légnyomással egyezik meg, sebessége pedig \(\displaystyle v/k\). A \(\displaystyle \varrho gh\) tag a gravitáció figyelmen kívül hagyása miatt nulla. Így

\(\displaystyle p_0+\frac{F}{A}+\frac{\varrho}{2}v^2=p_0+\frac{\varrho}{2} \,\frac{v^2}{k^2},\)

tehát

\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{F}{\varrho A}\,\frac{2k^2}{1-k^2}}.\)

A munkatételből és a Bernoulli-törvényből kapott eredmény megegyezik, ami nem meglepő, hiszen a Bernoulli-törvény éppen a mechanikai energia megmaradását fejezi ki a folyadékok áramlásoknál.

\(\displaystyle b)\) Ha a függőleges falnak csapódó víz \(\displaystyle F_1\) nagyságú, jobbra mutató erőt fejt ki a falra, akkor a fal ugyanekkora nagyságú, balra mutató erővel hat a folyadékra. Mivel \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt \(\displaystyle \Delta m\) tömegű, \(\displaystyle v/k\) sebességű folyadék veszíti el vízszintes irányú lendületét, fennáll

\(\displaystyle -F_1\Delta t= -(\varrho A v \Delta t) \frac{v}{k},\)

vagyis (\(\displaystyle v\) korábban kiszámított értékét felhasználva)

\(\displaystyle F_1=\frac{2k}{1-k^2}\,F=\frac{5}{12}F\approx 0{,}42\, F. \)

\(\displaystyle c)\) A cső rögzítésére ható \(\displaystyle F_2\) erőt ugyancsak a lendületváltozás tételéből határozhatjuk meg. A folyadéknak a csőben lévő részére \(\displaystyle F-F_2\) erő hat, ezt a dugattyú, illetve a folyadéknyomásból származó, a szűkület falára ható erő ellenereje fejti ki. A lendületváltozás egyenlete:

\(\displaystyle \left(F-F_2\right)=\Delta m\left( \frac{v}{k}-v\right),\)

ahonnan

\(\displaystyle F_2=\frac{1-k}{1+k}\,F=\frac{2}{3}\,F\approx 0{,}67\,F.\)

Megjegyzés: Figyelemre méltó, hogy \(\displaystyle F_1+F_2\ne F\), de ez nem ellentmondás, hiszen (a sebességek időbeli állandósága ellenére) a teljes folyadékmennyiség lendülete időben egyre változik, csökken. Az eredő erő

\(\displaystyle F-F_1-F_2= -\frac{2k^2}{1-k^2}\,F\)

és ez éppen megegyezik a

\(\displaystyle \frac{\Delta I_\text{összes}}{\Delta t}= -\frac{\Delta m\cdot v }{\Delta t}=-\varrho A v^2\)

mennyiséggel, összhangban Newton II. törvényével.


Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Bartók Imre, Bekes Nándor, Di Giovanni András, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Jakus Balázs István, Kavas Katalin, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Sal Dávid, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám.
5 pontot kapott:Elek Péter.
4 pontot kapott:2 versenyző.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.

A KöMaL 2016. novemberi fizika feladatai