 |
A P. 4883. feladat (2016. november) |
P. 4883. Egy gyorsító 0,03 T indukciójú homogén mágneses terében elektronok keringenek 0,2 m sugarú körpályán. Mekkora a részecskék sebessége?
Közli: Légrádi Imre, Sopron
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha a nemrelativisztikus képletek alapján számolunk, a mozgásegyenlet:
\(\displaystyle evB=\frac{mv^2}{r},\)
ahol \(\displaystyle m\) az elektron tömege, \(\displaystyle e\) pedig a töltése. Innen az elektron sebességére
\(\displaystyle v=\frac{eBr}{m}=\frac{1{,}6\cdot10^{-19}~{\rm C}\cdot 0{,}03~{\rm T}\cdot 0{,}2~\rm m}{0{,}91\cdot10^{-30}~{\rm kg}}=10{,}5\cdot10^{8}~\frac{{\rm m}}{\rm s}, \)
vagyis a fénysebesség 3,5-szerese (!) adódik. Ez arra figyelmeztet, hogy a nemrelativisztikus számolási mód nem jogos.
A relativisztikus mozgásegyenlet:
\(\displaystyle evB=\frac{\Delta p}{\Delta t},\)
ahol \(\displaystyle p\) a részecske relativisztikus impulzusa. Mivel az elektron és vele együtt az impulzusvektor is \(\displaystyle \omega=v/r\) szögsebességgel forog, fennáll
\(\displaystyle \frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{v}{r}p,\)
és így a mozgásegyenletből következően
\(\displaystyle p=eBr=3{,}5mc.\)
(Az utolsó lépésnél kihasználtuk a első, nemrelativisztikus probálkozásban kapott számszerű eredményt; \(\displaystyle m\) az elektron nyugalmi tömegét jelöli.)
Másrészt az impulzus és a sebesség között fennáll a
\(\displaystyle p=\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\)
összefüggés, amit a \(\displaystyle \beta=v/c\) jelölés használatával
\(\displaystyle 3{,}5=\frac{p}{mc}=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\)
alakban is felírhatunk. Innen a
\(\displaystyle \beta=\sqrt{\frac{3{,}5^2}{1+3{,}5^2}}=0{,}96,\)
vagyis \(\displaystyle v=0{,}96\,c=2{,}88\cdot10^8~\)m/s eredményt kapjuk.
Statisztika:
65 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Alwaleed Aldhargam, Bekes Nándor, Csuha Boglárka, Di Giovanni András, Édes Lili, Faisal Fahad AlSallom, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Hajnal Dániel Konrád, Iván Balázs, Jakus Balázs István, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Nguyen Viet Hung, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pataki 245 Attila, Pszota Máté, Szabó 199 Márton, Szakály Marcell, Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter, Zöllner András. 4 pontot kapott: Bartók Imre, Csenger Géza, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Illyés András, Krasznai Anna, Mocskonyi Mirkó, Németh 123 Balázs, Németh 999 Petra, Nenezic Patrick Uros, Ónodi Gergely, Osváth Botond, Sallai Krisztina, Sugár Soma, Szentivánszki Soma , Tibay Álmos, Wesniczky Albert, Zsombó István. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2016. novemberi fizika feladatai