Problem P. 4897. (January 2017)
P. 4897. Water flows out through a tap at the bottom of a vertical cylindrical container, open at its top. The water level in the cylinder decreases at a certain speed. How does this speed change? If half of the water flows out in time \(\displaystyle T\), how long will it take to empty the full container?
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A csapból kiáramló víz sebessége a Torricelli-féle kiömlési törvény szerint a vízszint \(\displaystyle h\) magasságának négyzetgyökével arányos: \(\displaystyle v_\text{csap}=\sqrt{2gh}\). A folyadék felszínének süllyedési sebessége a kifolyási sebességgel arányos (az arányossági tényező a csap keresztmetszetének és az edény keresztmetszetének hányadosa). Tehát a vízszint \(\displaystyle h\) magassága és annak csökkenési sebessége közötti kapcsolat így írható fel:
\(\displaystyle v(h)=-\sqrt{2ah},\)
ahol \(\displaystyle a\) egy (a nehézségi gyorsulástól és a geometriai adatoktól függő) állandó. (A negatív előjel azt fejezi ki, hogy \(\displaystyle h\) csökken.) Ez az összefüggés megegyezik egy állandó \(\displaystyle a\) gyorsulással mozgó test sebesség-út képletével, tehát az út-idő összefüggés is az egyenletesen gyorsuló mozgás képletével adható meg:
\(\displaystyle h(t)=H-v_0 t+\frac{a}{2}t^2, \)
ahol \(\displaystyle H\) a kezdeti vízmagasság, \(\displaystyle v_0=\sqrt{2aH}\) pedig a vízszint kezdeti süllyedési sebessége. Eszerint
\(\displaystyle h(t)=H-\sqrt{2aH}t+\frac{a}{2}t^2\equiv\frac{a}{2}\left(\sqrt{\frac{2H}{a}}-t\right)^2.\)
Mivel \(\displaystyle T\) idő alatt a vízmennyiség fele folyik ki:
\(\displaystyle \frac{H}{2}=\frac{a}{2}\left(\sqrt{\frac{2H}{a}}-T\right)^2,\)
ahonnan
\(\displaystyle \sqrt{\frac{H}{a}}=\frac{T}{ \sqrt{2}-1}.\)
A teljes kiürülés idejét a \(\displaystyle h=0\) feltétel határozza meg:
\(\displaystyle T_\text{kiürül}=\sqrt{\frac{2H}{a}}=\sqrt{2}\frac{T}{ \sqrt{2}-1}=\left(2+\sqrt{2}\right)\,T\approx 3{,}41\, T.\)
Statistics:
41 students sent a solution. 5 points: Bekes Nándor, Csire Roland, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Elek Péter, Faisal Fahad AlSallom, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Ghada Alshalan, Illyés András, Jakus Balázs István, Klučka Vivien, Krasznai Anna, Makovsky Mihály, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Osváth Botond, Páhoki Tamás, Pszota Máté, Sal Dávid, Szakály Marcell, Szentivánszki Soma , Takács Attila, Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter, Zöllner András, Zsombó István. 4 points: Markó Gábor, Nenezic Patrick Uros, Ónodi Gergely. 3 points: 2 students. 1 point: 2 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, January 2017