 |
A P. 4937. feladat (2017. április) |
P. 4937. A jövőben képesek leszünk olyan űrhajókat is építeni, amelyek távoli csillagrendszerekbe repíthetnek minket. Tegyük fel, hogy az egyik ilyen űrhajó a szökési sebességgel hagyja el a Földet, és speciális hajtóművének köszönhetően a mozgási energiáját minden nap megduplázza (a nyugalmi tömege eközben nem változik).
Becsüljük meg, mennyit öregszik az űrhajó kapitánya a 4,3 fényévnyire lévő Alpha Centaurira történő utazás során!
Közli: Vigh Máté, Budapest
(6 pont)
A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az űrhajóban mérhető időtartam (sajátidő)
\(\displaystyle \Delta\tau=\Delta t\, \sqrt{1-v^2/c^2}<\Delta t,\)
ahol \(\displaystyle v\) az űrhajó sebessége a Földhöz képest, \(\displaystyle \Delta t\) pedig a Földön mért időtartam.
Amíg az űrhajó sebessége sokkal kisebb a fénysebességnél, a kapitány minden földi nap alatt körülbelül 1 napot öregszik. A kezdeti \(\displaystyle v_0=11\) km/s-os sebességét \(\displaystyle n\) nap alatt \(\displaystyle v_0\cdot 2^{n/2}\)-re növeli, hiszen a nemrelativisztikus mozgási energia a sebesség négyzetével arányos. A sebesség akkor közelíti meg a fénysebességet, ha
\(\displaystyle v_0\cdot 2^{n/2}\approx c=300\,000~\rm km/s,\)
vagyis \(\displaystyle n\approx 29.\) Ezt követően már a relativisztikus képletek szerint kell számítani a sebességnövekedést és a sajátidőket (a kapitány öregedését), de a célba érésig eltelő idő pontos értékére nincs is szükségünk, hiszen a kapitány öregedése naponta \(\displaystyle \sqrt{1-v^2/c^2}\approx 0\). (Ebben az ultrarelativisztikus tartományban az ,,idődilatációnak'' megfelelő sajátidő elhanyagolhatóan kicsivé válik.)
A kapitány tehát összesen 29 napot öregszik, és ez a becsült érték gyakorlatilag független attól, hogy milyen messze van az úti cél.
Statisztika:
15 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bekes Nándor, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám. 4 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2017. áprilisi fizika feladatai