Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A P. 4969. feladat (2017. október)

P. 4969. Két lapos tekercs közös szimmetriatengelyen, egymástól \(\displaystyle h\) távolságra az ábrán látható módon helyezkedik el. A tekercsek menetszáma \(\displaystyle N_1\), illetve \(\displaystyle N_2\), sugaruk \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle r\) (\(\displaystyle r\ll R\)), valamint \(\displaystyle I_1\), illetve \(\displaystyle I_2\) erősségű áram folyik bennük. Mekkora erőt fejt ki egymásra a két tekercs?

A Kvant nyomán

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.


A Biot–Savart-törvény szerint számolható a nagyobb tekercs \(\displaystyle B(x)\) mágneses indukciója a szimmetriatengely mentén. (Ez a képlet a ,,Négyjegyűben'' is megtalálható.)

\(\displaystyle B(x)=\frac{\mu_0}2 \frac{I_1N_1R^2}{\left(x^2+R^2\right)^{3/2}}.\)

A kis tekercs áramjárta meneteire ható eredő erő – a tengelyes szimmetria miatt – csakis a két tekercs közös szimmetriatengelyével párhuzamos lehet. Ilyen erőt a mágneses tér sugár irányú (a szimmetriatengelyre merőleges) \(\displaystyle B_r\) indukcióvektor-komponens hoz létre:

\(\displaystyle F=B_r\cdot N_2I_2\cdot 2\pi r.\)

\(\displaystyle B_r\) nagysága abból a feltételből határozható meg, hogy a mágneses indukciómező forrásmentes (hiszen mágneses töltések nincsenek). Ha elképzelünk egy \(\displaystyle r\) sugarú, kicsiny \(\displaystyle \Delta h\) magasságú hengert a kis tekercs helyén, abba az egyik alapkörén \(\displaystyle r^2\pi B(h)\) számú erővonal lép be, a távolabbi alapkörén \(\displaystyle r^2\pi B(h+\Delta h)\) számú erővonal lép ki, és a palástján további \(\displaystyle 2r\pi \Delta h\cdot B_r\) számú erővonal lép ki. A mágneses indukció forrásmentességének feltétele:

\(\displaystyle r^2\pi B(h)=r^2\pi B(h+\Delta h)+2r\pi \Delta h\cdot B_r,\)

vagyis

\(\displaystyle B_r=\frac{r}{2}\frac{B(h+\Delta h)-B(h)}{\Delta h}.\)

A fenti képletben szereplő tört az \(\displaystyle (1+\varepsilon)^n\approx 1+n\varepsilon\) (\(\displaystyle \varepsilon\ll 1\)) közelítő formula segítségével, esetleg deriválással számolható:

\(\displaystyle \frac{B(h+\Delta h)-B(h)}{\Delta h}\approx B'(x)\vert _{(x=h)}=-\mu_0\frac32 \, \frac{ I_1N_1R^2h}{ \left(h^2+R^2\right)^{5/2}}.\)

Így végül a keresett erő kifejezése:

\(\displaystyle F=\mu_0\frac{3\pi }2R^2r^2I_1I_2N_1N_2\frac{h}{(h^2+R^2)^{5/2}}.\)


Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Elek Péter, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Tófalusi Ádám.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2017. októberi fizika feladatai