Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5003. feladat (2018. február)

P. 5003. Két \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálinga közvetlenül egymás mögött, egymással párhuzamos síkokban lenghet. Árnyékuk merőlegesen egy falra vetődik, időnként áthalad egymáson. Mindkét ingát ugyanakkora (kicsiny) szögben kitérítjük, majd \(\displaystyle t_0\) időkülönbséggel elengedjük. (\(\displaystyle t_0\) kisebb, mint az ingák lengésideje.)

\(\displaystyle a)\) Mikor találkozik az árnyékuk először?

\(\displaystyle b)\) Mikor következik be az \(\displaystyle n\)-edik találkozás?

Közli: Wiedemann László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Az ingák lengésideje \(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\ell/g}\), körfrekvenciájuk \(\displaystyle \omega=\sqrt{g/\ell }\), fáziskülönbségük \(\displaystyle \varphi=2\pi\frac{t_0}{T}=\omega t_0\). Az árnyékok akkor találkoznak, ha teljesül

\(\displaystyle A\cos\left(\omega t+\varphi\right)= A\cos\omega t.\)

(Az időmérés kezdőpontjaként a később indított inga elengedésének pillanatát választjuk.) A fenti egyenlet átalakítása után kapjuk, hogy

\(\displaystyle \left(\cos\varphi-1\right)\cos\omega t=\sin\omega t \sin\varphi,\)

\(\displaystyle \tg\omega t=\frac{\cos\varphi-1}{\sin\varphi}=-\tg\frac{\varphi}{2}.\)

Ennek legkisebb \(\displaystyle t>0\) megoldása:

\(\displaystyle \omega t=\pi-\frac{\varphi}{2},\)

Ez az összefüggés így is felírható:

\(\displaystyle t=\frac{T}{2}\left(1- \frac{t_0 }{T} \right). \)

\(\displaystyle b)\) Az árnyékok találkozása \(\displaystyle T/2\) időközönként követik egymást, így az \(\displaystyle n\)-edik találkozás időpillanata

\(\displaystyle t_n=\frac{T}{2}\left(n- \frac{t_0 }{T} \right). \)


Statisztika:

47 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Debreczeni Tibor, Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Jánosik Áron, Keltai Dóra, Kondákor Márk, Kovács Gergely Balázs, Kozák András, Markó Gábor, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Sal Dávid, Schneider Anna, Schrott Márton, Turcsányi Ádám.
3 pontot kapott:Al-Sayyed Zakariás, Balogh 999 Árpád Mátyás, Beke Csongor, Bukor Benedek, Fajszi Bulcsú, Garamvölgyi István Attila, Jánosdeák Márk, Kolontári Péter, Lipták Gergő, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Morvai Orsolya, Pálfi Fanni, Surján Botond, Szakály Marcell, Tafferner Zoltán, Turcsányi Máté, Vanya Dóra, Vígh Márton.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2018. februári fizika feladatai