A P. 5032. feladat (2018. április)

P. 5032. Mekkora sebességgel lökődik vissza egy $\displaystyle {}^{220}_{~86}\rm Rn$ atommag, miközben egy $\displaystyle \alpha$-részecskét bocsát ki? A radonizotóp tömege $\displaystyle 220,011\,394$ u, a bomlás után visszamaradó polónium $\displaystyle \big({}^{216}_{~84}\rm Po\big)$ tömege pedig $\displaystyle 216,001\,915$ u.

Közli: Légrádi Imre, Sopron

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A folyamatban részt vevő izotópok (semleges) atomtömege (5 tizedesjegy pontossággal)

$\displaystyle m_{\rm Rn}=220{,}011\,39~{\rm u};\qquad m_{\rm Po}=216{,}001\,91~{\rm u};\qquad m_{\rm He}=4{,}002\,60~{\rm u}.$

A tömeghiány:

$\displaystyle \Delta M=m_{\rm Rn}-m_{\rm Po}-m_{\rm He}=0{,}006\,88~{\rm u}.$

Megjegyzés: A fenti atomtömeg-értékek tartalmazzák a semleges atomokban található elektronok tömegét is, ez azonban a tömegkülönbségből kiesik, hiszen a folyamatban részt vevő elektronok száma nem változik. Emiatt $\displaystyle \Delta M$ megegyezik az atommagok tömegkülönbségével, tehát felhasználható a felszabaduló energia kiszámításánál is.

Vigyázat: Ha a héliumatom helyett az alfa-részecske $\displaystyle m_{\alpha}=4{,}0015\,\rm u$ tömegével számoljuk a tömeghiányt, de a többi izotópnál a semleges atomok tömegét írjuk be a képletbe, a 3. tizedesjegyben, vagyis a legelső értékes jegyben már hibás eredményt kapunk.

A radon radioaktív izotópjának $\displaystyle \alpha$-bomlása során felszabaduló energia: $\displaystyle \Delta E=\Delta M c^2$, ahol $\displaystyle c$ a fénysebesség. Mivel ez az energia nagyságrendekkel kisebb, mint az $\displaystyle \alpha$-részecske kb. $\displaystyle 4~{\rm u}\cdot c^2$ nyugalmi energiája, a bomlástermékek mozgási energiáját számíthatjuk a klasszikus (newtoni) fizika képleteinek felhasználásával:

$\displaystyle \Delta E=\frac{1}{2}m_{\rm Po} v_{\rm Po} ^2+\frac{1}{2}m_\alpha v_\alpha ^2,$

valamint

$\displaystyle m_{\rm Po} v_{\rm Po}- m_\alpha v_\alpha=0.$

Ezek szerint a bomlás után visszamaradó polónium atommag sebessége

$\displaystyle v_{\rm Po}=c\sqrt{\frac{2\Delta M\cdot m_\alpha }{m_{\rm Po}\left( m_{\rm Po}+m_\alpha\right) }}\approx c\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}006\,88\cdot 4 }{216\cdot 220}}=0{,}001\,08~c=323~\frac{\rm km}{\rm s}.$

Statisztika:

16 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Csire Roland, Morvai Orsolya, Ónodi Gergely.
3 pontot kapott:	Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Molnár Mátyás, Pszota Máté, Tordai Tegze.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi fizika feladatai