A P. 5036. feladat (2018. május)

P. 5036. A Nap körül keringő egyik üstökös legkisebb távolsága a Naptól 0,5 CSE, a legnagyobb pedig 31,5 CSE.

\(\displaystyle a)\) Mekkora az üstökös keringési ideje?

\(\displaystyle b)\) Mekkora területet súrol az üstököst a (nyugvónak tekinthető) Nappal összekötő szakasz egy év alatt?

Csillagászati versenyfeladat alapján

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A napközel (perihélium) és naptávol (aphélium) megadott értékei az ellipszispálya adataival kifejezve (csillagászati egységben mérve):

\(\displaystyle a-c=0{,}5 \qquad \text{és}\qquad a+c=31{,}5.\)

Innen a nagytengely hossza: \(\displaystyle 2a=32,\) ami 16-szor nagyobb, mint a Föld pályájának nagytengelye. Kepler III. törvénye szerint a keringési idő a nagytengely 3/2-ik hatványával arányos, tehát a kérdéses üstökösre

\(\displaystyle T_\text{üstökös}=16^{3/2}\cdot T_\text{Föld}=64~\text{év}.\)

\(\displaystyle b)\) A vezérsugár által súrolt terület (Kepler II. törvénye szerint) az idővel egyenesen arányos. Eszerint egy év alatt az ellipszis teljes \(\displaystyle ab\pi\) területének \(\displaystyle \tfrac1{64}\) részét súrolja a vezérsugár. Az ellipszis fél kistengelyét így számíthatjuk ki:

\(\displaystyle b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{(a-c)(a+c)}=\sqrt{0{,}5\cdot 31{,}5}=3{,}97~\text{CSE},\)

a keresett terület pedig

\(\displaystyle A \text{(1 év)}=\frac{16\cdot 3{,}97\cdot 3{,}14 }{64}=3{,}12 ~\text{(CSE)}^2.\)

Statisztika:

41 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Békési Ábel, Bonifert Balázs, Conrád Márk, Csire Roland, Édes Lili, Fajszi Bulcsú, Fekete András Albert, Fekete Balázs Attila, Geretovszky Anna, Guba Zoltán, Horváth 999 Anikó, Illés Gergely, Jánosik Áron, Kolontári Péter, Lipták Gergő, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Merkl Gergely, Merkl Levente, Sas 202 Mór, Tafferner Zoltán, Turcsányi Ádám, Turcsányi Máté, Viczián Anna.
3 pontot kapott:	Boros Máté, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Hajnal Dániel Konrád, Klučka Vivien, Magyar Róbert Attila, Ónodi Gergely, Pszota Máté, Selmi Bálint, Vaszary Tamás.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. májusi fizika feladatai