Problem P. 5045. (September 2018)

P. 5045. An object falls freely on the Moon. The total height from which the object was dropped is \(\displaystyle n\) times greater than the distance covered by the object in the last second of its fall. Determine the height from which it was dropped and the time of the fall.

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. A Holdon a nehézségi gyorsulás a földi érték egyhatoda: \(\displaystyle g'\approx 1{,}6~\rm m/s^2\). Jelöljük a teljes esési magasságot \(\displaystyle h\)-val, az esés teljes idejét \(\displaystyle T\)-vel, és az utolsó másodperc hosszát (általánosan) \(\displaystyle t_0\)-lal.

A következő egyenleteket írhatjuk fel:

\(\displaystyle h=\frac{g'}{2}T^2,\)

\(\displaystyle h-\frac{h}{n}=\frac{g'}{2}(T-t_0)^2.\)

A két egyenlet hányadosából

\(\displaystyle \frac{1}{n}T^2-2Tt_0+t_0^2=0\)

következik, amelynek formális megoldása

\(\displaystyle T=\left(n\pm\sqrt{n^2-n}\right)t_0.\)

Ha a gyökjel előtti előjelet negatívnak választanánk, \(\displaystyle T<t_0\) értéket kapnánk, ami ellentmond a feladat szövegének. A helyes megoldás tehát az esés idejére

\(\displaystyle T=\left(n+\sqrt{n^2-n}\right)~ \text{másodperc},\)

az esési magasságra pedig

\(\displaystyle h=\frac{g't_0^2}{2}\left( n+\sqrt{n^2-n} \right)^2\approx 0{,}8\cdot \left( n+\sqrt{n^2-n} \right)^2~ \text{méter}.\)

II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit!

A test sebessége az utolsó másodperc kezdetekor

\(\displaystyle v_1=\sqrt{ {2g'h}\left(1-\frac{1}{n}\right) },\)

az utolsó másodperc végén (a talajra érkezéskor) pedig

\(\displaystyle v_2=\sqrt{ {2g'h} }.\)

Fennáll, hogy

\(\displaystyle v_2-v_1=g't_0,\)

ahonnan a

\(\displaystyle h=\frac{g't_0^2}{2}\left( n+\sqrt{n^2-n} \right)^2\approx 0{,}8\cdot \left( n+\sqrt{n^2-n} \right)^2~ \text{méter} \)

eredményt kapjuk. Innen az esés ideje is könnyen kiszámítható (lásd az I. megoldás megfelelő képletét).

Megjegyzés. A kapott összefüggések mértékegységre nézve csak akkor helyesek, ha a métert, illetve a másodpercet is tartalmazzák. Ezek nélkül a megoldás hiányos.

Statistics:

103 students sent a solution.
4 points:	Barta Gergely, Békési Ábel, Bokor Endre, Bukor Benedek, Cseke Balázs, Csépányi István, Czett Mátyás, Fülöp Sámuel Sihombing, Jánosdeák Márk, Kondákor Márk, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Markó Gábor, Merkl Gergely, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Osztényi József, Szabó 314 László, Telek Dániel.
3 points:	34 students.
2 points:	26 students.
1 point:	13 students.
0 point:	8 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, September 2018