A P. 5095. feladat (2019. január)

P. 5095. Sorba kötöttünk \(\displaystyle R_1\) és \(\displaystyle R_2\) ellenállást, az eredőjük \(\displaystyle R_1+R_2\). Ebbe az áramkörbe \(\displaystyle R_1\)-gyel párhuzamosan és \(\displaystyle R_2\)-vel sorosan bekötöttünk egy-egy \(\displaystyle R\) nagyságú ellenállást. Van-e olyan \(\displaystyle R\) érték, amely esetén az eredő ellenállás továbbra is \(\displaystyle R_1+R_2\) marad?

Közli: Kobzos Ferenc, Dunaújváros

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A megadott feltétel szerint

\(\displaystyle \left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R}\right)^{-1}+R_2+R=R_1+R_2,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{R_1R}{R_1+R}+R=R_1.\)

Bevezetve az \(\displaystyle x=R/R_1\) jelölést, a fenti összefüggés az

\(\displaystyle x^2+x-1=0\)

másodfokú egyenletre vezet, aminek pozitív gyöke:

\(\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0{,}62.\)

A keresett ellenállás nagysága tehát \(\displaystyle R_2\)-től függetlenül \(\displaystyle R\approx 0{,}62\,R_1.\)

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	76 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. januári fizika feladatai