 |
A P. 5097. feladat (2019. január) |
P. 5097. Egy átlátszatlan lapon három vékony rés található, a szomszédos rések távolsága \(\displaystyle d\). A középső rés szélessége \(\displaystyle \sqrt{2}\)-ször nagyobb, mint a szélső két rés szélessége. A réseket a lap síkjára merőlegesen \(\displaystyle \lambda\) hullámhosszúságú lézernyalábbal világítjuk meg, a diffrakciós képet az \(\displaystyle L\) távolságra lévő ernyőn észleljük. A nulladrendű maximumtól milyen távolságra van az ernyőn az első nulla intenzitású hely? (Tegyük fel, hogy \(\displaystyle \lambda\ll d\ll L\)!)
Közli: Vigh Máté, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyes résekre eső, majd ott elhajló hullámok amplitúdója a rés területével, vagyis a rés szélességével arányos. Az \(\displaystyle \alpha\) szögben szóródó hullámban a szomszédos résekből érkező hullámok fáziskülönbsége
\(\displaystyle \Delta \varphi=\frac{2\pi d}\lambda\sin\alpha,\)
tehát (a Huygens–Fresnel-elv szerint) a három résből összesen az
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle A\cos(\omega t-\Delta\varphi)+\sqrt{2}A\cos\omega t+ A\cos(\omega t+\Delta\varphi)\equiv A\cos\omega t\cdot \left[\sqrt{2}+2\cos\Delta\varphi\right]\) |
függvénnyel jellemezhető hullám halad tovább.
Az ernyőn nulla intenzitású helyeket ott találunk, ahol a nekik megfelelő irányban az (1) összefüggés szögletes zárójelében álló kifejezés nullává válik:
\(\displaystyle \sqrt{2}+2\cos\Delta\varphi=0,\)
vagyis (a legkisebb abszolút értékű \(\displaystyle \Delta\varphi\)-t keresve):
\(\displaystyle \Delta\varphi=\pm \frac{3}{4}\pi.\)
Ekkora fáziskülönbség a direkt nyalábtól (a nulladrendű elhajlási maximumtól) mérve olyan \(\displaystyle \alpha\) szögben alakul ki, amelyre
\(\displaystyle \frac{d\sin\alpha}{\lambda}=\frac{\Delta\varphi}{2\pi}=\pm \frac{3}{8},\)
vagyis amely az ernyőn a nulladrendű maximumtól
\(\displaystyle h=L\tg\alpha\approx L\sin\alpha=\frac{3}{8}\frac{\lambda L}{d}\)
távol található.
Statisztika:
5 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Csépányi István, Elek Péter, Fiam Regina, Hisham Mohammed Almalki. 4 pontot kapott: Tran Quoc Dat.
A KöMaL 2019. januári fizika feladatai