A P. 5098. feladat (2019. január)

P. 5098. A csillagok színképvonalai – többek között – a csillag tengely körüli forgása miatt is kiszélesednek. Egy csillag színképében a hidrogén $\displaystyle \rm H\delta$-val jelölt (a Balmer-sorozatba eső), laboratóriumban 410,174 nm hullámhosszúságú vonalát a 410,171 nm és a 410,177 nm közötti tartományra kiszélesedve észleljük.

$\displaystyle a)$ Mekkora a csillag tengelyforgási periódusa, ha az átmérője $\displaystyle 1{,}4\cdot 10^9$ m? Tételezzük fel, hogy a csillag forgástengelye merőleges a látóirányunkra, és a vonalkiszélesedést főként a csillag forgása okozza.

$\displaystyle b)$ Milyen következtetést vonhatnánk le a csillag mozgásáról, ha a vonalat 410,176 nm és 410,182 nm közötti tartományra kiszélesedve észlelnénk?

Közli: Kovács József, Szombathely

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ A színképvonal két ,,széle'' $\displaystyle \Delta\lambda=\pm 0{,}003$ nm-rel tér el a középértéktől, a földi laboratóriumokban az ,,álló'' hidrogénatomok által kibocsátott fény $\displaystyle \lambda_0$ hullámhosszától. A relatív eltérés

$\displaystyle \frac{\vert\Delta\lambda\vert}{\lambda_0} \ll 1,$

ezért számolhatunk a nemrelativisztikus Doppler-képlettel. Ha a csillag sugara $\displaystyle R$ és a tengelyforgási ideje $\displaystyle T$, akkor a felszínén lévő atomok legnagyobb sebessége a látóiránnyal párhuzamosan

$\displaystyle v=R\omega=\frac{2\pi R}{T}.$

A Doppler-képlet szerint

$\displaystyle \frac{\vert\Delta\lambda\vert}{\lambda_0}= \frac{v}{c}$

($\displaystyle c$ a fénysebesség vákuumban). Innen

$\displaystyle T=\frac{2\pi R}{c}\,\frac{\lambda_0}{\vert\Delta\lambda\vert}=2\cdot 10^6~{\rm s}\approx 23~\text{(földi) nap}.$

$\displaystyle b)$ A megadott hullámhosszak számtani közepe $\displaystyle (\overline{\lambda}$) nem egyezik meg az álló hidrogénatomnak megfelelő $\displaystyle \lambda_0$-lal, annál $\displaystyle \Delta\lambda=0{,}005$ nm-rel nagyobb. Ebből arra lehet következtetni, hogy a csillag (amellett, hogy forog)

$\displaystyle v_0= \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}\, c\approx 3{,}7~ \frac{\rm km}{\rm s}$

sebességgel távolodik tőlünk.

Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Békési Ábel, Csépányi István, Debreczeni Tibor, Hisham Mohammed Almalki, Markó Gábor, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Sal Dávid, Selmi Bálint, Tafferner Zoltán, Tanner Norman, Tiefenbeck Flórián, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:	Bukor Benedek, Hervay Bence, Kovács Gergely Balázs, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. januári fizika feladatai