Problem P. 5130. (April 2019)

P. 5130. The detected wavelength of the radiation coming from a star in a distant galaxy, and belonging to the electron transition of \(\displaystyle \rm 4d\to\rm 2p\) of the hydrogen atom is 513 nm. How far is the galaxy from us in light years?

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A keresett távolságot a Hubble-törvény és a Doppler-képlet alapján becsülhetjük meg. A galaxis és a vizsgált csillagának tőlünk való távolsága gyakorlatilag ugyanakkora, és távolodási sebességük is megegyezik. A csillag magas hőmérséklete miatt a hidrogén egyatomos, és az atomokban az elektron energiája \(\displaystyle n\) főkvantumszámú állapotban

\(\displaystyle E_n=-(2{,}19~{\rm aJ})\cdot \frac{1}{n^2}.\)

A \(\displaystyle \rm 4d\rightarrow\rm 2p\) átmenet során kibocsátott foton energiája a csillag nyugalmi rendszerében

\(\displaystyle E_\text{foton}=(2{,}19~{\rm aJ})\left(\frac{1}{4}-\frac{1 }{16} \right)=0{,}41~\rm aJ,\)

ami

\(\displaystyle \lambda_0=\frac{hc}{E_\text{foton}}=486~\rm nm\)

hullámhossznak felel meg.

A nemrelativisztikus Doppler-formula alapján a csillag, és ezzel együtt a galaxis távolodási sebessége

\(\displaystyle v=\frac{\lambda-\lambda_0}{\lambda_0}c=\frac{513-486}{486}c=0{,}055\,c.\)

(Ez a sebesség sokkal kisebb, mint a fénysebesség, a nemrelativisztikus számolás tehát jogos volt.)

A Hubble-törvény szerint a \(\displaystyle v\) sebességgel távolodó galaxis és a galaxis \(\displaystyle r\) távolsága között fennáll:

\(\displaystyle r=\frac{v}{H},\)

ahol

\(\displaystyle H\approx \frac{70~\rm km/s}{\rm Mpc}=\frac{70~\rm km/s}{3{,}26\cdot10^6\,\text{fényév}}\)

a Hubble-állandó. A Hubble-törvényből a kérdéses galaxis távolságára kb. 800 millió fényév adódik.

Statistics:

29 students sent a solution.
5 points:	Bokor Endre, Bonifert Balázs, Elek Péter, Endrész Balázs, Fülöp Sámuel Sihombing, Hervay Bence, Kertész Balázs, Kozák 023 Áron, Ludányi Levente, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Sal Dávid, Selmi Bálint, Tanner Norman, Tiefenbeck Flórián, Varga Vázsony.
4 points:	Pácsonyi Péter, Sas 202 Mór, Viczián Anna.
3 points:	2 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, April 2019