 |
A P. 5130. feladat (2019. április) |
P. 5130. Hány fényév távolságra van tőlünk az a galaxis, amelynek egyik csillagáról hozzánk érkező sugárzásban a hidrogén \(\displaystyle \rm 4d\to\rm 2p\) átmenetnek megfelelő fény hullámhossza 513 nm?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A keresett távolságot a Hubble-törvény és a Doppler-képlet alapján becsülhetjük meg. A galaxis és a vizsgált csillagának tőlünk való távolsága gyakorlatilag ugyanakkora, és távolodási sebességük is megegyezik. A csillag magas hőmérséklete miatt a hidrogén egyatomos, és az atomokban az elektron energiája \(\displaystyle n\) főkvantumszámú állapotban
\(\displaystyle E_n=-(2{,}19~{\rm aJ})\cdot \frac{1}{n^2}.\)
A \(\displaystyle \rm 4d\rightarrow\rm 2p\) átmenet során kibocsátott foton energiája a csillag nyugalmi rendszerében
\(\displaystyle E_\text{foton}=(2{,}19~{\rm aJ})\left(\frac{1}{4}-\frac{1 }{16} \right)=0{,}41~\rm aJ,\)
ami
\(\displaystyle \lambda_0=\frac{hc}{E_\text{foton}}=486~\rm nm\)
hullámhossznak felel meg.
A nemrelativisztikus Doppler-formula alapján a csillag, és ezzel együtt a galaxis távolodási sebessége
\(\displaystyle v=\frac{\lambda-\lambda_0}{\lambda_0}c=\frac{513-486}{486}c=0{,}055\,c.\)
(Ez a sebesség sokkal kisebb, mint a fénysebesség, a nemrelativisztikus számolás tehát jogos volt.)
A Hubble-törvény szerint a \(\displaystyle v\) sebességgel távolodó galaxis és a galaxis \(\displaystyle r\) távolsága között fennáll:
\(\displaystyle r=\frac{v}{H},\)
ahol
\(\displaystyle H\approx \frac{70~\rm km/s}{\rm Mpc}=\frac{70~\rm km/s}{3{,}26\cdot10^6\,\text{fényév}}\)
a Hubble-állandó. A Hubble-törvényből a kérdéses galaxis távolságára kb. 800 millió fényév adódik.
Statisztika:
29 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bokor Endre, Bonifert Balázs, Elek Péter, Endrész Balázs, Fülöp Sámuel Sihombing, Hervay Bence, Kertész Balázs, Kozák 023 Áron, Ludányi Levente, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Sal Dávid, Selmi Bálint, Tanner Norman, Tiefenbeck Flórián, Varga Vázsony. 4 pontot kapott: Pácsonyi Péter, Sas 202 Mór, Viczián Anna. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2019. áprilisi fizika feladatai