A P. 5141. feladat (2019. május)

P. 5141. Az ábrán látható, vákuumban lévő síkkondenzátor lemezei vízszintesek, távolságuk \(\displaystyle d_0=4\) cm. Az alsó lemezre egy \(\displaystyle d_0/4\) vastagságú alumíniumlemezt helyezünk, és a kondenzátorra nagyfeszültséget kapcsolunk.

\(\displaystyle a)\) Mekkora legyen \(\displaystyle U_0\), hogy a lemez felemelkedjék?

\(\displaystyle b)\) Adott \(\displaystyle U\) telepfeszültségnél mekkora vastagságú alumíniumlemez emelkedhet fel a \(\displaystyle d_0\) lemeztávolságú síkkondenzátor alsó fegyverzetéről?

\(\displaystyle c)\) Van-e olyan feszültség, amely mellett biztosan megemelkedik az alumíniumlemez, akármekkora (\(\displaystyle d_0\)-nál kisebb) a vastagsága?

(Feltételezzük, hogy az alumíniumlemez mindvégig vízszintes marad. A kondenzátor fegyverzeteinek mérete sokkal nagyobb \(\displaystyle d_0\)-nál, a széleffektusok elhanyagolhatóak.)

Varga István (1952–2007) feladata

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Az alumíniumlemez behelyezésekor a megosztás miatt olyan síkkondenzátor alakul ki, amelynél a lemeztávolság \(\displaystyle d=\tfrac34 d_0\). Ismeretes, hogy a síkkondenzátor két lemeze közötti vonzóerő az

\(\displaystyle F=\frac{\varepsilon_0 U_0^2 A}{2d^2}\)

összefüggéssel számítható ki, ahol \(\displaystyle A\) a fegyverzetek alapterülete. A \(\displaystyle \varrho=2700~\rm kg/m^3\) sűrűségű alumíniumlemez súlya:

\(\displaystyle G=\frac{d_0}{4}A\varrho g.\)

A lemez akkor emelkedik fel, ha \(\displaystyle F>G\), vagyis

\(\displaystyle U_0>\frac{3}{4}d_0\sqrt{\frac{\varrho g d_0}{2\varepsilon_0}}\approx 232~\rm kV.\)

\(\displaystyle b)\) Helyezzünk bele most egy \(\displaystyle xd_0\) vastagságú alumíniumlemezt a kondenzátorba (\(\displaystyle 0<x<1\)). A lemez megemelkedésének feltétele:

\(\displaystyle \frac{\varepsilon_0 U^2}{2\varrho g d_0^3}> x(1-x)^2\equiv f(x).\)

Az ábra \(\displaystyle f(x)\) grafikonját és a megemelkedés feltételét mutatja. Adott (de nem túl nagy) \(\displaystyle U\) esetén ez a feltétel akkor teljesül, ha \(\displaystyle x<x_1\) vagy \(\displaystyle x>x_2\), azaz az alumíniumlemez elég vékony (könnyű), vagy elég vastag, emiatt viszonylag közel kerül a felső kondenzátorlemezhez.

\(\displaystyle c)\) Az \(\displaystyle f(x)\) függvénynek \(\displaystyle x=\tfrac13\)-nál maximuma van, és a maximum értéke \(\displaystyle \tfrac 4{27}\). Ezt differenciálszámítással, vagy a számtani-mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség segítségével láthatjuk be:

\(\displaystyle \sqrt[3]{2f(x)}=\sqrt[3]{(2x)(1-x)(1-x)}\le \frac{(2x)+(1-x)+(1-x)}{3}=\frac{2}{3},\)

azaz

\(\displaystyle f(x)\le \frac{4}{27}.\)

(Az egyenlőség \(\displaystyle 2x=1-x\), azaz \(\displaystyle x=\tfrac13\)-nál teljesül, itt lesz \(\displaystyle f(x)\) maximuma.)

Amennyiben

\(\displaystyle U>U_ \text{krit}=\frac{2}{3}d_0\sqrt{\frac{2\varrho g d_0}{3\varepsilon_0}}= 238~\rm kV,\)

az adott lemeztávolságú kondenzátorban semmilyen vastag alumíniumlemez nem maradhat nyugalomban az alsó fegyverzeten.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bokor Endre, Bonifert Balázs, Elek Péter, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Marozsák Tádé, Sal Dávid, Tiefenbeck Flórián, Viczián Anna.
4 pontot kapott:	Vaszary Tamás.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2019. májusi fizika feladatai