A P. 5202. feladat (2020. február)

P. 5202. A fémek fajhője nagyon alacsony hőmérsékleteken jó közelítéssel az abszolút hőmérséklettel arányos (\(\displaystyle c=\alpha \cdot T\), az \(\displaystyle \alpha\) arányossági tényező a fémre jellemző állandó). Egy hidegfizikai laboratórium igen jó hőszigetelésű kamrájában két különböző tömegű és különböző fajta fémet összeérintünk. Az egyik (\(\displaystyle A\) jelű) fémdarab kezdeti hőmérséklete 1,0 K, a (\(\displaystyle B\) jelű) másiké 3,0 K, a kialakuló közös hőmérséklet pedig 2,0 K. Mennyi lesz a közös hőmérséklet, ha a fémdarabok kezdeti hőmérséklete: \(\displaystyle T_A=1{,}5\) K és \(\displaystyle T_B=2{,}5\) K?

Közli: Bertalan Zoltán, Békéscsaba

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a fajhő a hőmérséklettel arányos, akkor egy adott tömegű fémdarab hőkapacitása is a hőmérséklettel arányos: \(\displaystyle C(T)=k\cdot T\), ahol a \(\displaystyle k\) arányossági tényező a fémdarab anyagától és tömegétől függő állandó. (A hőkapacitás az a hőmennyiség, amely az adott anyagi rendszer hőmérsékletének 1 K-nyi növeléséhez szükséges. A hőkapacitás a fajhő és a melegített test tömegének szorzata.)

Egy fémdarab belső energiája nagyon alacsony hőmérsékleteken (a \(\displaystyle T=0\) állapothoz viszonyítva):

\(\displaystyle E=C_\text{átlag}\cdot T=\left(k\frac{T}{2}\right)T.\)

Megjegyzés. Általános esetben, tetszőleges \(\displaystyle C(T)\) hőfokfüggés esetén a belső energia változása a \(\displaystyle C(T)\) függvény grafikonjának görbe alatti területeként (integráljaként) kapható meg. Ha \(\displaystyle C(T)\) lineáris függvény, akkor a kérdéses terület egy trapéz (vagy egy derékszögű háromszög) területével egyezik meg, amit a kezdeti és végső hőkapacitás számtani közepével számolt átlagból is megkaphatunk. Ugyanezt a gondolatmenetet alkalmazzuk az \(\displaystyle F=D\, x\) Hooke-törvényt követő rugó \(\displaystyle E(x)=F_\text{átlag}\cdot x=\frac{1}{2}Dx^2\) energiájának kiszámításakor, vagy az egyenletesen gyorsuló mozgás során megtett út meghatározásakor:

\(\displaystyle s(t)=v_\text{átlag}\cdot t=\frac{v_0+(v_0+at)}{2}t=v_0t+\frac{a}{2}t^2.\)

A fémdarabok összeérintése után a rendszer belső energiája nem változik, vagyis

\(\displaystyle k_A\frac{(1~\rm K)^2}{2}+k_B\frac{(3~\rm K)^2}{2}=k_A\frac{(2~\rm K)^2}{2}+k_B\frac{(2~\rm K)^2}{2}.\)

Innen adódik, hogy

\(\displaystyle k_B=\frac{3}{5}\,k_A.\)

A második esetben a \(\displaystyle T=T_\text{közös}\) hőmérsékletre felírhatjuk, hogy

\(\displaystyle k_A\frac{ T_A ^2}{2}+k_B\frac{T_B^2}{2}=k_A\frac{ T^2}{2}+k_B\frac{T ^2}{2},\)

ahonnan

\(\displaystyle T=\sqrt{\frac{3T_B^2+5T_A^2}{3+5}}\approx 1{,}9~\rm K.\)

Statisztika:

36 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balázs 825 Ádám , Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Dóra Márton, Endrész Balázs, Fekete András Albert, Fiam Regina, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Hamar Dávid, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Magyar Gábor Balázs, Páhán Anita Dalma, Pankotai Dóra Anna, Perényi Barnabás, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Tanner Norman, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Török 517 Mihály, Varga Vázsony, Vass Bence, Viczián Anna.
4 pontot kapott:	Kalmár Dóra.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2020. februári fizika feladatai