Problem P. 5240. (September 2020)

P. 5240. How many litres of air is displaced from a room of sides \(\displaystyle 6~\mathrm{m}\times 5~\mathrm{m}\times 3~\mathrm{m}\), if the temperature of the air increases from \(\displaystyle 27\;{}^\circ\)C to \(\displaystyle 30\;{}^\circ\)C, while the pressure decreases by 0.5%?

(3 pont)

Deadline expired on October 15, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. A helyiségben lévő levegő térfogata: \(\displaystyle V_0=6~{\rm m}\times 5~{\rm m}\times 3~{\rm m}=90~\rm m^3\). A hőmérséklet és a nyomás relatív változása:

\(\displaystyle \frac{\Delta T}{T}=\frac{3~\rm K}{300~ \rm K}=1\%, \qquad\text{illetve} \qquad \frac{\Delta p}{p} =-0{,}5\%.\)

A gáztörvény szerint

\(\displaystyle pV=nRT,\qquad\text{vagyis} \qquad V=\text{állandó}\cdot \frac{T}{p}.\)

Könnyen belátható, hogy kicsiny változások esetén egy tört értékének relatív megváltozása a számláló relatív megváltozásának és a nevező relatív megváltozásának a különbsége. Innen kapjuk, hogy a térfogat relatív változása

\(\displaystyle \frac{\Delta V}{V_0}=\frac{\Delta T}{T_0}-\frac{\Delta p}{p_0}=1{,}5\%.\)

Ennek megfelelően a kiszoruló levegő térfogata

\(\displaystyle \Delta V=0{,}015\,V_0=1{,}35~\rm m^3.\)

II. megoldás. A gáztörvény szerint a kezdeti állapotra

\(\displaystyle p_0V_0=nRT_0,\)

a megváltozott állapotra pedig

\(\displaystyle p_1V_1=nRT_1,\)

ahol \(\displaystyle V_0\) a helyiség (vagyis az eredetileg benne lévő levegő) térfogata, \(\displaystyle V_1\) pedig ugyanennyi tömegű levegőnek a megváltozott térfogata. A kiszoruló levegő térfogata nyilván \(\displaystyle V_1-V_0\).

A fenti két egyenlet hányadosából

\(\displaystyle \frac{V_1}{V_0}=\frac{T_1}{T_0}\,\frac{p_0}{p_1}=\frac{303}{300}\,\frac{1}{0{,}995}=1{,}015,\)

vagyis \(\displaystyle V_1=91{,}35~\rm m^3,\) tehát a kiszoruló levegő térfogata

\(\displaystyle \Delta V=V_1-V_0=1{,}35~\rm m^3.\)

Statistics:

106 students sent a solution.
3 points:	60 students.
2 points:	19 students.
1 point:	11 students.
0 point:	15 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, September 2020