Problem P. 5264. (November 2020)
P. 5264. A racing car starts from rest and goes along a circular race track of radius 60 m. Its tangential acceleration is constant in the first four seconds of its motion, its magnitude is \(\displaystyle 6~\mathrm{m/s}^2\).
\(\displaystyle a)\) Determine the angular speed at which the acceleration vector rotates with respect to the direction of the motion of the car. Sketch this angular speed as a function of the time.
\(\displaystyle b)\) How much time elapses until this angular speed becomes the greatest? What is this greatest angular speed?
(5 pont)
Deadline expired on December 15, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) SI-egységeket használva:
– az autó érintőleges gyorsulása \(\displaystyle a_1=6\);
– a pálya sugara: \(\displaystyle R=60\);
– az autó sebessége \(\displaystyle t\) idő elteltével \(\displaystyle v=a_1t=6t\);
– az autó centripetális gyorsulása: \(\displaystyle a_2=\frac{v^2}{R}=0{,}6\,t^2\). Az autó gyorsulásvektora a kör érintőjével
\(\displaystyle \alpha(t)=\arctg\frac{a_2}{a_1}=\arctg(0{,}1\,t^2)\)
szöget zár be. Ennek a szögnek az egységnyi időre vonatkozó megváltozása a keresett
\(\displaystyle \omega(t)= \frac{\Delta\alpha}{\Delta t} \)
szögsebesség.
Számítsuk ki, hogy mennyit változik \(\displaystyle \tg\alpha\) egy kicsiny \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt, ha eközben az \(\displaystyle \alpha\) szög \(\displaystyle \Delta\alpha\)-val nagyobb lesz. Mivel \(\displaystyle \tg\alpha=0{,}1\,t^2\), fennáll, hogy
\(\displaystyle \tg(\alpha+\Delta\alpha)-\tg\alpha=0{,}1 (t+\Delta t)^2-0{,}1 t^2.\)
Kicsiny változások esetén érvényes
\(\displaystyle \tg(\Delta\alpha)\approx \Delta\alpha\qquad \text{és}\qquad \Delta t\ll t.\)
Trigonometriai és algebrai átalakítások után kapjuk, hogy ebben a közelítésben
\(\displaystyle \frac{\tg\alpha+\Delta\alpha}{1-\Delta\alpha\cdot \tg\alpha}-\tg\alpha=0{,}2t\,\Delta t+0{,}1(\Delta t)^2,\)
azaz
\(\displaystyle \Delta\alpha\left(1+\tg^2\alpha\right)=\Delta t(0{,}2t+0{,}1t\,\Delta t)(1-\Delta\alpha\,\tg\alpha).\)
Innen kapjuk, hogy a keresett szögsebesség:
\(\displaystyle \omega(t)\approx \frac{\Delta\alpha}{\Delta t}= \frac{0{,}2\,t+0{,}1\Delta t}{1+\tg^2\alpha} (1-\Delta\alpha\cdot\tg\alpha) =\frac{0{,}2\,t}{1+0{,}01\,t^4}.\)
Ha ábrázoljuk az \(\displaystyle \omega(t)\) függvényt, a grafikonról leolvashatjuk, hogy a szögsebességnek \(\displaystyle t=2{,}4~\)s közelében maximuma van, és hogy a szögsebesség legnagyobb értéke \(\displaystyle \omega_\text{max}=3{,}6~\rm s^{-1}\).
Megjegytés. \(\displaystyle \omega(t)\) szélsőértékét deriválással is meghatározhatjuk: A differenciálhányados \(\displaystyle t_0=1/\sqrt[4]{100/3}~{\rm s}\approx 2{,}4~{\rm s}\) idő elteltével lesz nulla, és \(\displaystyle \omega_\text{max}=\omega(t_0)\approx 3{,}6~\rm s^{-1}\).
Statistics:
40 students sent a solution. 5 points: Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Fey Dávid, Fonyi Máté Sándor, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Jánosik Máté, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Ludányi Levente, Molnár-Szabó Vilmos, Németh Kristóf, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Selmi Bálint, Simon László Bence, Somlán Gellért, Takács Bendegúz, Téglás Panna, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 4 points: Koleszár Benedek, Köpenczei Csanád, Magyar Gábor Balázs, Mihalik Bálint, Molnár 123 Barnabás, Toronyi András. 2 points: 8 students. 1 point: 2 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, November 2020