Problem P. 5267. (November 2020)

P. 5267. Steve is observing his eyeglasses. The lens of his glasses focuses the light of the Sun at a distance of 50 cm from the lens. He also observes that if the light of the Sun is reflected then two bright spots (foci) can be seen in front of the lens, one at a distance of 17 cm, and the other at a distance of 7 cm from the lens. What is the refractive index of the material of the lens?

(5 pont)

Deadline expired on December 15, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A visszaverődő fény egyik fókuszpontját a szemüveg lencséjének a Nap felé eső oldala – mint homorú tükör – hozza létre. A lencse a rajta áthaladó napfényt fókuszálja, tehát homorúan domború gyüjtőlencse. Legyen a homorú oldalának görbületi sugara \(\displaystyle r_1\), a domborúé \(\displaystyle r_2\), és mivel gyüjtőlencséről van szó, \(\displaystyle r_1>r_2\) teljesül.

A homorú felület egy \(\displaystyle D_1=2/r_1\) dioptriás homorú tükörnek felel meg. A lencse (ami az áthaladó fényt 0,5 m távolságban fókuszálja) \(\displaystyle D_0=2\) dioptriás. A domború oldal is vissza tudja verni a fényt, éppen úgy, mint egy \(\displaystyle D_2=2/r_1\) dioptriás optikai eszköz.

A lencsén áthaladó és a domború felületről visszaverődő, majd a lencsén még egyszer áthaladó fényt egy \(\displaystyle D_0+D_1+D_0\) dioptriás összetett optikai rendszer fókuszálja. (Egymáshoz közeli, vékony leképező eszközök dioptriája összeadódik.) Mivel \(\displaystyle r_2<r_1\), \(\displaystyle D_2>D_1\), tehát \(\displaystyle D_2+2D_0\) is nagyobb \(\displaystyle D_1\)-nél. Eszerint a homorú oldalról történő visszaverődéshez tartozik a nagyobb (0,17 m-es) fókusztávolság, a lencsén kétszer áthaladó és egyszer tükröződő esethez pedig a rövidebb (0,17 m-es) fókusztávolság. A távolságokat méter egységekben mérve felírhatjuk, hogy

\(\displaystyle r_1=2\cdot 0{,}17=0{,}34,\)

\(\displaystyle D_2+2D_0=D_2+4=\frac{1}{0{,}07}=14{,}29,\)

tehát

\(\displaystyle D_2=10{,}29=\frac{2}{r_2},\qquad \text{azaz}\qquad r_2=0{,}194.\)

A lencsetörvény szerint

\(\displaystyle \frac{1}{0{,}5}=(n-1)\left(\frac1{r_2}-\frac1{r_1}\right),\)

ahonnan – a kiszámított görbületi sugarakat behelyettesítve – a keresett törésmutatóra \(\displaystyle n=1{,}90\) adódik.

Statistics:

18 students sent a solution.
5 points:	Bonifert Balázs, Toronyi András.
4 points:	Kertész Balázs, Tóth Ábel.
3 points:	9 students.
2 points:	5 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2020