Problem P. 5269. (November 2020)

P. 5269. What frequency sinusoidal AC supply is to be connected to the assembled elements shown in the figure in order that the arrangement have infinite resistance?

(5 pont)

Deadline expired on December 15, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kapcsolás ,,függőleges'' szimmetriatengelyén fekvő három pont minden időpillanatban ekvipotenciális, hiszen a generátorhoz kapcsolódó pontoktól ,,egyforma távolságra'' helyezkednek el. (Ha mondjuk a bal oldali csomópontot földeltnek tekintjük, és a jobb oldali csomópont feszültsége \(\displaystyle U(t)\), akkor a három közbenső pont mindegyikén \(\displaystyle \tfrac12 U(t)\) feszültség lesz.) Az ekvipotenciális pontok közötti tekercsek eltávolíthatók a kapcsolásból (hiszen rajtuk úgysem folyik áram), a felső és alsó csomópont pedig összerköthető (hiszen közöttük nincs feszültség, emiatt úgysem fog áram folyni.)

Az átalakított kapcsolásban a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredője \(\displaystyle 2C\), a sorosan kapcsoltaké pedig \(\displaystyle \tfrac12\cdot 2C=C\). A két sorosan kapcsolt tekercs eredő önindukciós együtthatója \(\displaystyle 2L\). (Ez csak akkor igaz, ha a tekercsek nincsenek nagyon közel egymáshoz, és emiatt a kölcsönös indukció elhanyagolható.) A kapcsolás akkor képvisel ,,végtelen nagy'' váltóáramú ellenállást, amikor a körfrekvencia (a Thomson-képlet szerint)

\(\displaystyle \omega=2\pi f=\sqrt{\frac{1}{2L\cdot C}},\)

vagyis a rezonanciafrekvencia

\(\displaystyle f_\text{rez.}=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{1}{8L\, C}}.\)

Statistics:

14 students sent a solution.
5 points:	Bonifert Balázs, Gurzó József, Kertész Balázs, Sas 202 Mór, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Toronyi András.
4 points:	Fekete András Albert, Varga Vázsony.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2020