Problem P. 5271. (November 2020)
P. 5271. A point-like object can move from point \(\displaystyle A\) to point \(\displaystyle B\) along the two paths shown in the figure. The distance between the two points is \(\displaystyle \ell\). In the case of \(\displaystyle a)\) the object moves along a horizontal straight path, and in the case of \(\displaystyle b)\) the object moves along a circular path in a vertical plane. The depth of the circular path is \(\displaystyle h\). The initial speed of the object in both cases is \(\displaystyle v_0\). Which motion lasts longer? (Air drag and friction is negligible.)
Data: \(\displaystyle v_0=1\) m/s, \(\displaystyle \ell=1\) m, \(\displaystyle h=2.5\) cm.
(6 pont)
Deadline expired on December 15, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. Az \(\displaystyle a)\) esetben a mozgás egyenletes, az időtartama nyilván 1 s.
A \(\displaystyle b)\) esetben a test hosszabb utat tesz meg, de (a nehézségi erő gyorsító hatása miatt) az átlagsebessége is nagyobb, így a mozgás idejének kiszámítása további megfontolásokat igényel.
A geometriai adatokból kiszámíthatjuk, hogy a körpálya sugara
\(\displaystyle R=\frac{h}{2}+\frac{\ell^2}{8h}=5{,}012~\rm m.\)
A test legnagyobb sebessége (ezt a pálya legmélyebb pontjánál éri el) a munkatétel szerint
\(\displaystyle v_\text{max}=\sqrt{v_0^2+2gh}=1{,}22~\frac{\rm m}{\rm s},\)
a legnagyobb szögsebessége pedig
\(\displaystyle \omega_\text{max}=\frac{v_\text{max}}{R}=0{,}24~\frac{1}{\rm s}.\)
A test mozgása a körív mentén éppen olyan, mint egy \(\displaystyle R\) hosszúságú fonálinga nehezékének mozgása. Ha az időmérés kezdőpontjának azt a pillanatot választjuk, amikor a test sebessége maximális, akkor a fonálinga pillanatnyi szögkitérése
\(\displaystyle \varphi(t)=\frac{\omega_\text{max}}{\Omega}\sin\Omega t\)
alakban adható meg, ahol
\(\displaystyle \Omega=\sqrt{\frac{g}{R}}=1{,}40~\frac{1}{\rm s}\)
a rezgőmozgás körfrekvenciája (nem tévesztendő össze a pillanatnyi szögsebesség \(\displaystyle \omega(t)\) értékével). Ezek szerint
\(\displaystyle \varphi(t)=0{,}174~\sin\left(1{,}4 \frac{t}{1~\rm s}\right).\)
A pálya végpontjában (vagyis a \(\displaystyle B\) pontban) a \(\displaystyle \varphi_0\) szögkitérésre fennáll:
\(\displaystyle \sin\varphi_0=\frac{\ell}{2R},\qquad \text{ahonnan}\qquad \varphi_0=0{,}10~\text{radián}.\)
A mozgás keresett \(\displaystyle T\) idejének felére, \(\displaystyle t_0=T/2\)-re teljesül, hogy
\(\displaystyle 0{,}10=0{,}174~\sin\left(1{,}4 \frac{t_0}{1~\rm s}\right),\)
vagyis
\(\displaystyle \sin\left(1{,}4 \frac{t_0}{1~\rm s}\right)=0{,}57,\)
tehát
\(\displaystyle T=2t_0=0{,}87~\rm s.\)
Ezek szerint a köríven történő mozgás (azonos kezdősebességek esetén) rövidebb ideig tart, mint az egyenes út mentén.
II. megoldás. A körív menti mozgásnál a legnagyobb sebesség (a munkatétel szerint)
\(\displaystyle v_\text{max}=\sqrt{v_0^2+2gh}=1{,}22~\frac{\rm m}{\rm s},\)
az ,,átlagsebesség'' pedig – a legkisebb és a legnagyobb sebesség számtani közepével számolva – \(\displaystyle 1{,}11~\frac{\rm m}{\rm s}\).
A geometriai adatokból kiszámítható, hogy a körív hossza 1,0025 m, így tehát a mozgás ideje
\(\displaystyle T\approx \frac{1{,}0025~\rm m}{1{,}1~\rm m/s}\approx 0{,}9~\rm s.\)
Tehát az egyenes pályán történő mozgás tart hosszabb ideig.
Megjegyzés. A számításban használandó ,,átlagsebesség'' nem időbeli átlagot jelent, hanem azt, hogy a sebesség reciprokát az út szerinti átlagoljuk, majd ennek reciprokát képezzük. Ennek az átlagnak jó közelítését kapjuk, ha a legnagyobb és a legkisebb sebességhez tartozó értékek \(\displaystyle 2:1\) arányú súlyozott közepét képezzük, amivel számolva még inkább teljesül a bizonyítandó egyenlőtlenság, miszerint a köríven történő mozgás tart rövidebb ideig.
Statistics:
40 students sent a solution. 6 points: Berkesi Tímea, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Fey Dávid, Gurzó József, Juhász Márk Hunor, Kovács Kinga, Ludányi Levente, Molnár-Szabó Vilmos, Nemeskéri Dániel, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Somlán Gellért, Szoboszlai Szilveszter, Takács Bendegúz, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 5 points: Beke Zsolt, Brilli Fabiano, Fonyi Máté Sándor, Horváth 999 Anikó. 4 points: 3 students. 3 points: 4 students. 2 points: 4 students. 1 point: 5 students. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, November 2020