Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5274. feladat (2020. december)

P. 5274. Az ábrán látható, \(\displaystyle 3L\) hosszúságú, elhanyagolható tömegű, merev rúd a bal oldali végétől \(\displaystyle L\) távolságra lévő, rögzített vízszintes tengely körül súrlódásmentesen foroghat a függőleges síkban. A rúd végeihez \(\displaystyle m\), illetve \(\displaystyle 2m\) tömegű, kis méretű testeket erősítünk, és a rudat vízszintes helyzetben tartjuk. Egy adott pillanatban a rudat elengedjük.

\(\displaystyle a)\) Mekkora a rúd által a tengelyre kifejtett erő rúdirányú összetevője abban a pillanatban, amikor a rúd \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a vízszintes iránnyal?

\(\displaystyle b)\) Határozzuk meg az \(\displaystyle \alpha\) szöget abban a pillanatban, amikor a rúd által a tengelyre kifejtett teljes erő \(\displaystyle 4mg\) nagyságú!

Közli: Kotek László, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. január 15-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) A két testből és az elhanyagolható tömegű rúdból álló rendszernek a tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka

\(\displaystyle \Theta=mL^2+(2m)(2L)^2=9mL^2.\)

A rúd \(\displaystyle \alpha\) szögű elfordulásakor a szögsebesség (az energiamegmaradás tétele szerint) így számolható:

\(\displaystyle \frac{1}{2}\Theta\omega^2=(2mg)(2L)\sin\alpha-mgL\sin\alpha,\)

vagyis

\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{2}{3}\frac{g}{L}\sin\alpha}.\)

Jelöljük a \(\displaystyle m\) tömegű testre a rúd által kifejtett erő rúd irányú komponensét \(\displaystyle F_1\)-gyel, a másik testnél az ennek megfelelő erőt \(\displaystyle F_2\)-vel (1. ábra).


1. ábra

A mozgásegyenletek:

\(\displaystyle mg\sin\alpha-F_1=mL\omega^2,\)

ahonnan

\(\displaystyle F_1=\frac{1}{3}mg\sin\alpha,\)

illetve

\(\displaystyle F_2-2mg\sin\alpha=2m(2L)\omega^2,\)

vagyis

\(\displaystyle F_2=\frac{14}{3}mg\sin\alpha.\)

A tengelyre kifejtett rúdirányú erő ( a \(\displaystyle m\) tömegű test felé)

\(\displaystyle N_1=F_1+F_2=5mg\sin\alpha.\)

\(\displaystyle b)\) A testek nemcsak a rúd irányába, hanem arra merőlegesen is gyorsulnak. Ezt a tangenciális gyorsulást a nehézségi erőnek a rúdra merőleges komponense és a rúd által a rúdra merőleges irányban kifejtett \(\displaystyle F_3\) és \(\displaystyle F_4\) erő hozza létre (2. ábra).


2. ábra

A mozgásegyenletek:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle F_3-mg\cos\alpha=mL\beta\)

és

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle 2mg\cos\alpha+F_4=2m(2L)\beta,\)

ahol az egész merev test szöggyorsulása a külső erők eredő forgatónyomatékából számítható ki:

\(\displaystyle \beta=\frac{2mg(2L)\cos\alpha-mgL\cos\alpha}{\Theta}=\frac{1}{3}\frac{g}{L}\cos\alpha.\)

Ezt a kifejezést visszahelyettesítva (1)-be és (2)-be, kapjuk, hogy

\(\displaystyle F_3=\frac{4}{3}mg\cos\alpha, \qquad \text{illetve}\qquad F_4=-\frac{2}{3}mg\cos\alpha.\)

A tengelyre ható erőnek a rúdra merőleges összetevője:

\(\displaystyle N_2=F_3-F_4=2mg\cos\alpha.\)

A tengelyre ható teljes (eredő) erő

\(\displaystyle \vert\boldsymbol N\vert=\sqrt{N_1^2+N_2^2}=mg\sqrt{25\sin^2\alpha+4\cos^2\alpha}=mg\sqrt{21\sin^2\alpha+4},\)

ami akkor egyezik meg \(\displaystyle 4mg\)-vel, amikor

\(\displaystyle \sin^2\alpha=\frac{12}{21},\qquad \text{azaz}\qquad\alpha=\arcsin\sqrt{\frac{12}{21}}=49{,}1^\circ.\)


Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Gurzó József, Horváth Antal, Kertész Balázs, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Molnár-Szabó Vilmos, Somlán Gellért, Téglás Panna.
4 pontot kapott:Fekete András Albert, Nemeskéri Dániel, Sas 202 Mór.
3 pontot kapott:15 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2020. decemberi fizika feladatai