Problem P. 5277. (December 2020)

P. 5277. The focal length of a camera is 50 mm, the diameter of the lens is 20 mm. The lens is adjusted such that it forms the sharp image of an object which is at a distance of 5 m from the lens. What is the smallest and greatest distance of a point-like object from the film, between which the image formed on the film is smaller than a spot of diameter 0.05 mm? How will this interval change if the diameter of the lens is decreased to 10 mm?

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle t_0=500\) cm-es tárgytávolsághoz \(\displaystyle f=5\) cm-es fókusztávolságú lencsénél

\(\displaystyle k_0=\frac{t_0f}{t_0-f}=5{,}05~\rm cm\)

képtávolság tartozik. Ekkora távolságban van a film a lencsétől.

A filmen a \(\displaystyle D\) átmérőjű lencsével történő leképezésnél akkor keletkezik egy \(\displaystyle t\) távol lévő (pontszerű) tárgynak \(\displaystyle d\) átmérőjű ,,képe'' (\(\displaystyle d\ll D\)), ha a \(\displaystyle k\) képtávolságra (pontosabban: kicsiny fényfolt távolságára) fennáll, hogy

\(\displaystyle \frac{k-k_0}{k}=\pm \frac{d}{D}.\)

Az előjel annak felel meg, hogy a kép a film előtt, vagy a film mögött keletkezik. Az \(\displaystyle N=D/d\) jelöléssel (esetünkben \(\displaystyle N=400\), illetve leszűkített lencseátmérő esetén \(\displaystyle N=200\). A fenti feltétel (\(\displaystyle N\gg 1\) miatt) így is felírható:

\(\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{1}{k_0}\left(1\pm \frac{1}{N}\right),\)

vagyis a leképezési törvény szerint

\(\displaystyle \frac{1}{f}-\frac{1}{t}=\left(\frac{1}{f}-\frac{1}{t_0}\right)\left(1\pm \frac{1}{N}\right).\)

Innen következik, hogy (\(\displaystyle f\ll t_0\) miatt)

\(\displaystyle \frac{1}{t}=\frac{1}{t_0}\pm \frac{1}{Nf}.\)

Ha \(\displaystyle N=400\), \(\displaystyle Nf=2000\) cm és \(\displaystyle t_0=500~\)cm, akkor a \(\displaystyle t\) tárgytávolság szélső helyzeteinek 400 cm és 667 cm felel meg. A fénykép tehát akkor lesz éles, ha

\(\displaystyle 4{,}0~{\rm m}< t< 6{,}7~{\rm m}.\)

Ugyanezek a határok \(\displaystyle N=200\) esetén kitolódnak:

\(\displaystyle 3{,}3~{\rm m}< t< 10{,}0~{\rm m},\)

az objektív leszűkítése tehát nagyobb ,,mélységélességet'' eredményez.

Megjegyzés. A leszűkített lencsénél ugyan nagyobb tartományban lesz éles a kép, de a kisebb átmérőjű lencsén kevesebb fény jut a filmre, így hosszabb ideig kell exponálni.

Statistics:

18 students sent a solution.
5 points:	Gurzó József, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Sas 202 Mór, Szabó Márton, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
4 points:	Barta Gergely, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Kozák Gergely, Ludányi Levente.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, December 2020