Problem P. 5282. (December 2020)
P. 5282. A magnetic disc is moving on an air-cushioned table above a metal sheet. Due to the generated eddy currents there is a retarding force exerted on the disc, which is proportional to the speed of the disc. Moving above a sheet made of aluminium the disc stops after covering a distance of 30 cm, but when the sheet is made of copper the disc stops after covering only 20 cm. How much distance will the disc cover if first it travels above a piece of copper sheet of width 15 cm, and then continues its motion above an aluminium sheet? (The initial speeds of the disc are the same in all the three cases.)
(6 pont)
Deadline expired on January 15, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az \(\displaystyle ma=-kv\) mozgásegyenlet szerint
\(\displaystyle \frac{m\Delta v}{\Delta t}+k\frac{\Delta x}{\Delta t}=0,\)
vagyis
\(\displaystyle \frac{\Delta(mv+kx)}{\Delta t}=0,\)
tehát
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{m}{k}v+ x=C =(\text{állandó}).\) |
A \(\displaystyle C\) állandó értéke a \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel és a megállásig megtett \(\displaystyle x_\text{max}\) úttal is kifejezhető:
\(\displaystyle C=\frac{m}{k}v_0=x_\text{max},\)
vagyis
\(\displaystyle x_\text{max}=\mu v_0,\)
ahol \(\displaystyle \mu=m/k\) a fékeződést előidéző fémlemezre jellemző állandó. Ezek szerint a megállásig megtett út a mágneskorong kezdősebességével arányos.
A kétféle anyagú lemezre felírható összefüggések:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 30~{\rm cm}=\mu_\text{alumínium}\cdot v_0,\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle 20~{\rm cm}=\mu_\text{réz}\cdot v_0.\) |
Ha a 15 centiméter széles rézlap felett áthaladó mágneskorong sebességre valamekkora \(\displaystyle v_1\) értékre csökken, akkor (1) szerint
\(\displaystyle \mu_\text{réz}\cdot v_0=\mu_\text{réz}\cdot v_1+15~\rm cm,\)
vagyis
\(\displaystyle v_1=v_0-\frac{15~\rm cm}{\mu_\text{réz}}. \)
Ekkora kezdősebességgel a mágnes az alumíniumlemezen
\(\displaystyle x_1=\mu_\text{alumínium}\cdot v_1=\mu_\text{alumínium}\cdot v_0-\frac{\mu_\text{réz}}{\mu_\text{alumínium}}\cdot (15~\rm cm), \)
vagyis (2) és (3) szerint
\(\displaystyle x_1=30~{\rm cm}-\frac{30~\rm cm}{20~\rm cm}15~\rm cm=7{,}5~\rm cm\)
utat tesz meg.
A mágneskorong tehát összesen 15 cm + 7,5 cm = 22,5 cm út megtétele után áll meg.
Megjegyzés. Megmutatható, hogy a sebességgel arányos fékezőerő esetén a test sebessége időben exponenciálisan csökken, tehát véges időtartam alatt nem állhat meg. A feladatban szereplő ,,megállás'' úgy értendő, hogy a sebesség nagyon kicsi, gyakorlatilag nullának tekinthető értékre csökken.
Statistics:
31 students sent a solution. 6 points: Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Bonifert Balázs, Dobre Zsombor, Dóra Márton, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Jánosik Máté, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Magyar Gábor Balázs, Mihalik Bálint, Molnár-Szabó Vilmos, Mozolai Bende Bruno, Selmi Bálint, Simon László Bence, Somlán Gellért, Takács Bendegúz, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 5 points: Fey Dávid, Kozaróczy Csaba, Molnár 123 Barnabás. 3 points: 3 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, December 2020