Problem P. 5285. (January 2021)
P. 5285. A flat, disc-shaped object of mass \(\displaystyle m\) is lying at rest on a rough horizontal surface. One end of a spring of force constant \(\displaystyle k\) is attached to the centre of the disc, and then the other end is slowly pulled horizontally. Initially the spring is unstretched. The object stays at rest for a while and then it starts to move along a straight line. At the moment when the object starts to move the other end of the spring is fixed.
\(\displaystyle a)\) What is the greatest speed of the object?
\(\displaystyle b)\) How long does it take for the object to reach the maximum speed?
\(\displaystyle c)\) How much distance does the object cover until it reaches its greatest speed?
\(\displaystyle d)\) How will the object move afterwards, assuming that the spring remains straight?
The coefficient of kinetic friction between the disc and the surface is \(\displaystyle \mu\) and the coefficient of static friction is \(\displaystyle \mu_0\) (\(\displaystyle \mu_0>\mu\)).
(5 pont)
Deadline expired on February 18, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A korong akkor mozdul meg, amikor a rugóerő éppen meghaladja a tapadási súrlódási erő \(\displaystyle \mu_0mg\) nagyságú maximális értékét. Ekkor a rugó megnyúlása (a feszítetlen állapotához képest)
\(\displaystyle x_0=\frac{\mu_0mg}{D}.\)
A már mozgó korongra \(\displaystyle \mu mg\) nagyságú csúszási súrlódási erő, valamint a rugó ereje hat. Ha \(\displaystyle x\) a korong elmozdulása, akkor a mozgásegyenlete:
\(\displaystyle ma=D(x_0-x)-\mu mg,\)
vagyis
\(\displaystyle a=-\frac{D}{m}x+(\mu_0-\mu)g.\)
(Ez a mozgásegyenlet csak addig érvényes, amíg a korong a rugó rögzített vége felé mozog. Ha a korong már megállt, vagy ha visszafelé mozogna, akkor a súrlódási erőt már nem a fenti kifejezés adná meg.) Mivel a korong gyorsulása az elmozdulásnak lineáris függvénye, a mozgásegyenlet harmonikus rezgőmozgást ír le. A rezgés körfrekvenciája:
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{D}{m}},\)
a rezgés ,,egyensúlyi helyzete'' (vagyis az \(\displaystyle a=0\)-nak megfelelő helyzet) a korong
\(\displaystyle A=\frac{(\mu_0-\mu)mg}{D}\)
elmozdulásánál található. Mivel a megindulás helye az egyensúlyi helyzettől éppen \(\displaystyle A\) távolságra van, a rezgés amplitúdója \(\displaystyle A\).
\(\displaystyle a)\) A rezgőmozgást végző korong maximális sebessége:
\(\displaystyle v_{\rm max}= A\omega=\sqrt{\frac{m}{D}}(\mu_0-\mu)g.\)
\(\displaystyle b)\) A maximális sebességet a korong egy negyed rezgás, vagyis
\(\displaystyle t=\frac{T}{4}=\frac{\pi}2 {\sqrt{\frac{m}D}}\)
idő alatt éri el.
\(\displaystyle c)\) A maximális sebesség eléréséig a korong
\(\displaystyle A=\frac{(\mu_0-\mu)mg}{D}\)
utat tesz meg.
\(\displaystyle d)\) A korong akkor áll meg, amikor az elmozdulása \(\displaystyle 2A\). Ebben a helyzetben a rugó által kifejtett erő:
\(\displaystyle F=D(x_0-2A)=mg(2\mu-\mu_0).\)
\(\displaystyle F>0\) esetén rögzített rugóvég felé mutat a húzóerő, \(\displaystyle F<0\) esetén pedig a kiindulási helyzet felé tolja vissza a rugó a korongot. Akármelyik eset valósul meg, az álló korong nem tud megindulni, hiszen
\(\displaystyle \vert mg(2\mu-\mu_0)\vert <mg\mu_0\)
mindenképpen teljesül.
Statistics:
49 students sent a solution. 5 points: Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Kertész Balázs, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Somlán Gellért, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 4 points: Bognár 171 András Károly, Dékány Csaba, Dóra Márton, Fey Dávid, Fonyi Máté Sándor, Gábriel Tamás, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Koleszár Benedek, Ludányi Levente, Simon László Bence, Téglás Panna, Török 111 László, Viczián Máté. 3 points: 14 students. 2 points: 6 students. 1 point: 4 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, January 2021