Problem P. 5290. (January 2021)

P. 5290. A point-like negatively charged particle is projected from a point \(\displaystyle P\) of a uniform electric field perpendicularly to the electric field at a velocity of \(\displaystyle \boldsymbol v_0\). Uniform magnetic field is also present, which is perpendicular to both the electric field vector \(\displaystyle \boldsymbol{E}\) and to the velocity \(\displaystyle \boldsymbol v_0\). The two types of fields are separated by a plane, which is perpendicular to the electric field vector, as shown in the figure. What is the magnitude of the magnetic induction, if the particle returns back to point \(\displaystyle P\)?

(The whole arrangement is in vacuum, and the effect of the gravitational force on the particle is negligible.)

(5 pont)

Deadline expired on February 18, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a részecske töltésének nagyságát (abszolút értékét) \(\displaystyle Q\)-val, a tömegét \(\displaystyle m\)-mel, és a kétféle mezőt elválasztó sík távolsága az indítási ponttól legyen \(\displaystyle d\) (lásd az ábrát).

A részecske az elektromos térben

\(\displaystyle a=\frac{EQ}{m}\)

gyorsulással mozog a mezőket elválasztó sík felé, és

\(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2d}{a}}=\sqrt{\frac{2dm}{EQ}}\)

idő alatt teszi meg a \(\displaystyle d\) távolságot. Eközben \(\displaystyle \boldsymbol v_0\) irányában egyenletesen mozogva

\(\displaystyle \ell=v_0t=\sqrt{\frac{2dmv_0^2}{EQ}}\)

utat tesz meg. A határoló síkhoz érve a sebességének egyik komponense \(\displaystyle v_0\), a másik (az elektromos térrel ellentétes irányú) komponense

\(\displaystyle v_1=at=\sqrt{\frac{2dEQ}{m}},\)

a sebességvektor nagysága pedig

\(\displaystyle v=\sqrt{v_0^2+v_1^2}\)

lesz.

A mágneses térbe belépve (ahol az elektromos térerősség már nulla) a \(\displaystyle \boldsymbol B\) indukcióvektornak és a \(\displaystyle \boldsymbol v\) sebességvektornak megfelelő Lorentz-erő a hatására a részecske egyenletes körmozgást végez. A körpálya sugara a mozgásegyenletből kapható meg:

\(\displaystyle QBv=\frac{mv^2}{R}, \qquad \text{tehát}\qquad R=\frac{mv}{QB}.\)

Ha a kör középpontja éppen a \(\displaystyle P\) pont ,alatt'' helyezkedik el, akkor a pálya szimmetrikus görbe lesz, és a részecske visszajut a \(\displaystyle P\) pontba. Hasonló háromszögek oldalainak arányából

\(\displaystyle \frac{\ell}{R}=\frac{v_1}{v},\)

ahonnan a korábbi részeredmények felhasználásával kapjuk, hogy

\(\displaystyle B=\frac{mv}{QR}=\frac{mv_1}{\ell Q}= \frac{m}{Q}\frac{\sqrt{\displaystyle\frac{2dEQ}{m}}}{\sqrt{\displaystyle\frac{2dmv_0^2}{EQ}}}=\frac{E}{v_0}.\)

Ez a meglepően egyszerű végeredmény (ami nem függ a \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle d\) mennyiségektől) így is felírható:

\(\displaystyle {\boldsymbol E}={\boldsymbol v_0}\times {\boldsymbol B}.\)

Statistics:

38 students sent a solution.
5 points:	Antalóczy Szabolcs, Barna Benedek, Biebel Botond, Bonifert Balázs, Dobre Zsombor, Fekete András Albert, Fey Dávid, Gurzó József, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Kertész Balázs, Kozák Gergely, Kozaróczy Csaba, Köpenczei Csanád, Ludányi Levente, Magyar Gábor Balázs, Mihalik Bálint, Mócza Tamás István, Molnár 123 Barnabás, Molnár-Szabó Vilmos, Mozolai Bende Bruno, Páhán Anita Dalma, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Tuba Balázs, Varga Vázsony.
4 points:	Bognár 171 András Károly, Fonyi Máté Sándor.
3 points:	2 students.
2 points:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, January 2021