Problem P. 5292. (January 2021)
P. 5292. \(\displaystyle {}^{14}\mathrm{C}\) isotope undergoes \(\displaystyle \beta^-\) decay and its half life is 5568 years. In a certain amount of carbon, the initial activity of the isotope carbon-14 was 12 MBq.
\(\displaystyle a)\) How many nuclides decayed in the first minute?
\(\displaystyle b)\) How many nuclides decayed in the first ten thousand years?
\(\displaystyle c)\) What was the initial mass of the carbon-14 isotope in the sample?
\(\displaystyle d)\) How much time elapses until the mass of the carbon-14 isotope in the sample decreases to \(\displaystyle 1 \mu \mathrm{g}\)?
(4 pont)
Deadline expired on February 18, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Az aktivitás az egységnyi idő alatt bekövetkező bomlások száma. Mivel 1 perc=60 s sokkal rövidebb, mint a \(\displaystyle ^{14}\rm C\) felezési ideje, az aktivitás ezen idő alatt állandónak tekinthető, és így a bomlások száma:
\(\displaystyle N=\left(60~{\rm s}\right)\cdot\left(12\cdot 10^6~\frac{1}{\rm s}\right)=7{,}2\cdot 10^8.\)
\(\displaystyle b)\) A kezdeti aktivitásból és a felezési időből kiszámítható a kezdeti részecskeszám:
\(\displaystyle A=N_0\frac{\ln 2}{T_{1/2}},\qquad \text{azaz}\qquad N_0=\frac{1}{\ln2}\left(12\cdot 10^6~\frac{1}{\rm s}\right)\cdot 5568\cdot 365\cdot 24\cdot 3600~{\rm s}=3{,}04\cdot10^{18}. \)
\(\displaystyle t=10\,000\) év alatt a még el nem bomlott atommagok száma
\(\displaystyle N(t)=N_0\,2^{-\left(t/T_{1/2}\right)}=0{,}288\,N_0=8{,}75\cdot10^{17}\)
értékre csökkent, vagyis a bomlások száma:
\(\displaystyle N_0-N(t)=2{,}2\cdot 10^{18}.\)
\(\displaystyle c)\) Kezdetben a szén-14-es izotóp tömeg:
\(\displaystyle m=N_0 \frac{14~{\rm g/mol}}{6\cdot10^{23}/\rm mol}=71~\mu\rm g.\)
\(\displaystyle d)\) A bomlási törvény szerint
\(\displaystyle 1~\mu{\rm g}=71~\mu{\rm g}\cdot 2^{-\left(t/T_{1/2}\right)},\)
ahonnan a kérdéses idő:
\(\displaystyle t=\frac{\ln 71}{\ln 2}\cdot 5568~\text{év}\approx 34\,200~\text{év}.\)
Statistics:
63 students sent a solution. 4 points: Bagu Bálint, Albert Máté, Barta Gergely, Beke Bálint, Beke Zsolt, Biebel Botond, Bonifert Balázs, Bubics Gergely Dániel, Csapó Tamás, Csonka Illés, Dékány Csaba, Fonyi Máté Sándor, Gurzó József, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Klepáček László, Kovács Kinga, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Mihalik Bálint, Mócza Tamás István, Mozolai Bende Bruno, Mucsi Viktor, Nemeskéri Dániel, Schäffer Bálint, Selmi Bálint, Simon László Bence, Szász Levente, Szoboszlai Szilveszter, Takács Dóra, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Varga Vázsony, Viczián Máté. 3 points: 12 students. 2 points: 3 students. 1 point: 4 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, January 2021