Problem P. 5294. (February 2021)

P. 5294. A half-cylinder-shaped trough has a horizontal symmetry axis. Through the midpoint of one of the horizontal radii of the trough an inclined plane of angle of elevation of \(\displaystyle \alpha\) is laid. What is the angle of elevation of that slope along which a small object slides without friction in the shortest time?

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A lejtőnek nyilván a vályú tengelyére merőleges, függőleges síkban kell feküdnie. A továbbiakban ezt a ,,síkbeli'' nézetet vizsgáljuk.

Ismert tétel, hogy egy adott \(\displaystyle P\) pontból induló, különböző hajlásszögű lejtőkön súrlódásmentesen lecsúszó testek bármelyik pillanatban egy olyan körön helyezkednek el, ami a \(\displaystyle P\) pontra illeszkedik, és a körnek a \(\displaystyle P\) ponthoz tartozó sugara függőleges. A kör sugara az eltelt idő négyzetével arányos, tehát a legrövidebb időnek az a kör felel meg, amelyik érinti vályú keresztmetszetének megfelelő félkört (1. ábra).

1. ábra

Jelöljük a vályú sugarát \(\displaystyle R\)-rel, a leggyorsabb lecsúszáshoz tartozó kör sugarát \(\displaystyle r\)-rel és a lejtőnek a függőlegessel bezárt szögét \(\displaystyle \varphi\)-vel (2. ábra).

2. ábra

Az \(\displaystyle OPA\) derékszögű háromszögre felírt Pitagorasz-tétel szerint

\(\displaystyle \left(\frac{R}{2}\right)^2+r^2=(R-r)^2,\)

vagyis

\(\displaystyle r=\frac{3}{8}R,\)

tehát

\(\displaystyle {\rm tg}\,2\varphi=\frac{R}{2r}=\frac{4}{3},\)

azaz

\(\displaystyle \varphi=26{,}6^\circ,\)

a lejtő hajlásszöge pedig

\(\displaystyle \alpha=90^\circ-\varphi=63{,}4^\circ.\)

Statistics:

52 students sent a solution.
5 points:	Barna Benedek, Berkesi Tímea, Biebel Botond, Bonifert Balázs, Dékány Csaba, Dóra Márton, Fekete András Albert, Gábriel Tamás, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Köpenczei Csanád, Ludányi Levente, Mihalik Bálint, Mócza Tamás István, Molnár-Szabó Vilmos, Mozolai Bende Bruno, Németh Kristóf, Páhán Anita Dalma, Puskás Attila, Sallai Péter, Sándor Dominik, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Szabó Márton, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel.
4 points:	Antalóczy Szabolcs, Dózsa Levente, Fonyi Máté Sándor, Nemeskéri Dániel, Varga Vázsony.
3 points:	2 students.
2 points:	3 students.
1 point:	6 students.
0 point:	7 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2021