Problem P. 5295. (February 2021)

P. 5295. A small cart of mass \(\displaystyle m\) which is driven by a LEGO motor starts to move upward along a slope of angle of elevation of \(\displaystyle \alpha\). The mechanical power of the motor (except for the very beginning of the motion) has a constant value of \(\displaystyle P\). What is the final speed of the cart? (The wheels do not slide and rolling resistance is negligible.)

\(\displaystyle a)\) Describe the motion of the cart.

\(\displaystyle b)\) As a function of the time sketch the graph of the power, speed, and the static frictional force in the same diagram. Sketch the force–velocity diagram as well.

\(\displaystyle c)\) What is the least frictional force during the motion?

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle F\cdot v=P\) összefüggésből indulunk ki, ahol a \(\displaystyle F\) a kisautó vonóerejét, \(\displaystyle v\) a sebességet jelenti. Ez az egyenlőség a mozgás során minden pillanatban fennáll, így pl. ha \(\displaystyle v\) időbeli változását ismerjük, ennek segítségével \(\displaystyle F\) változása azonnal megállapítható. Az \(\displaystyle m\) tömegű kisautó \(\displaystyle a\) gyorsulása:

\(\displaystyle a=\frac{F-mg\sin\alpha}{m}= \frac{P}{mv}- g\sin\alpha . \)

Ennek az összefüggésnek a segítségével már végigkövethetjük a mozgást. Kezdetben \(\displaystyle v\) még kicsi, így \(\displaystyle F\) igen nagy, a kisautó nagy gyorsulással indul. (Természetesen \(\displaystyle F\) végtelen értékének nem tulajdoníthatunk realitást. Itt arról van szó, hogy a motor teljesítménye az induláskor \(\displaystyle 0\)-ról nagyon gyorsan, elhanyagolhatóan rövid idő alatt növekszik a \(\displaystyle P\) értékre, és a továbbiakban konstans marad.) Ahogy a kisautó sebessége nő, úgy csökken a fenti képlet szerint az autó gyorsulása, tehát a sebesség a kezdeti rohamos növekedés után egyre lassabban növekszik. Ez a növekedés a

\(\displaystyle v_\text{max}=\frac{P}{mg\sin\alpha}\)

értékig tarthat, ekkor ugyanis a gyorsulás nullává válik, így a sebesség ezután már nem változna. Bebizonyítható, hogy ezt az értéket a kisautó csak ,,végtelen hosszú idő múlva'' érné el, aszimptotikusan közelíti meg azt (1. ábra).

1. ábra

Az erő-sebesség grafikon (2. ábra) a \(\displaystyle F\cdot v=P\) összefüggésnek megfelelően hiperbola alakú, amely a \(\displaystyle v=v_\text{max}\)-nak megfelelő \(\displaystyle O\) pontnál véget ér. Az erő a minimális értékét itt éri el (a megbeszélt értelemben ,,végtelen'' idő múlva):

\(\displaystyle F_{\text{min}}=mg\sin\alpha.\)

Ekkora erő nyilván kell a lejtőn való visszacsúszás megakadályozására. A hiperbola szaggatottan jelölt részébe soha nem juthatunk el, az ezeknek megfelelő állapotok nem valósulnak meg.

2. ábra

Statistics:

21 students sent a solution.
5 points:	Albert Máté, Bonifert Balázs, Dóra Márton, Fonyi Máté Sándor, Gurzó József, Ludányi Levente, Ruzsa Bence, Varga Vázsony.
4 points:	Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Köpenczei Csanád.
3 points:	2 students.
2 points:	5 students.
1 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2021