A P. 5295. feladat (2021. február) |
P. 5295. Egy LEGO-motorral hajtott \(\displaystyle m\) tömegű kisautó \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű lejtőn felfelé indul el. A motor mechanikai teljesítménye (az indulás utáni nagyon rövid időtartamot leszámítva) állandó \(\displaystyle P\) értékű. Mekkora lesz a végsebessége? (A kerekek nem csúsznak, és a gördülő ellenállás elhanyagolhatóan kicsi.)
\(\displaystyle a)\) Írjuk le, milyen jellegű a kisautó mozgása!
\(\displaystyle b)\) Ábrázoljuk vázlatosan egy közös diagramon a teljesítményt, a sebességet, valamint a kerekekre ható tapadási súrlódási erőt az idő függvényében! Készítsük el az erő–sebesség grafikont is!
\(\displaystyle c)\) Mekkora a mozgás során a legkisebb súrlódási erő?
Közli: Holics László, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. március 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle F\cdot v=P\) összefüggésből indulunk ki, ahol a \(\displaystyle F\) a kisautó vonóerejét, \(\displaystyle v\) a sebességet jelenti. Ez az egyenlőség a mozgás során minden pillanatban fennáll, így pl. ha \(\displaystyle v\) időbeli változását ismerjük, ennek segítségével \(\displaystyle F\) változása azonnal megállapítható. Az \(\displaystyle m\) tömegű kisautó \(\displaystyle a\) gyorsulása:
\(\displaystyle a=\frac{F-mg\sin\alpha}{m}= \frac{P}{mv}- g\sin\alpha . \)
Ennek az összefüggésnek a segítségével már végigkövethetjük a mozgást. Kezdetben \(\displaystyle v\) még kicsi, így \(\displaystyle F\) igen nagy, a kisautó nagy gyorsulással indul. (Természetesen \(\displaystyle F\) végtelen értékének nem tulajdoníthatunk realitást. Itt arról van szó, hogy a motor teljesítménye az induláskor \(\displaystyle 0\)-ról nagyon gyorsan, elhanyagolhatóan rövid idő alatt növekszik a \(\displaystyle P\) értékre, és a továbbiakban konstans marad.) Ahogy a kisautó sebessége nő, úgy csökken a fenti képlet szerint az autó gyorsulása, tehát a sebesség a kezdeti rohamos növekedés után egyre lassabban növekszik. Ez a növekedés a
\(\displaystyle v_\text{max}=\frac{P}{mg\sin\alpha}\)
értékig tarthat, ekkor ugyanis a gyorsulás nullává válik, így a sebesség ezután már nem változna. Bebizonyítható, hogy ezt az értéket a kisautó csak ,,végtelen hosszú idő múlva'' érné el, aszimptotikusan közelíti meg azt (1. ábra).
1. ábra
Az erő-sebesség grafikon (2. ábra) a \(\displaystyle F\cdot v=P\) összefüggésnek megfelelően hiperbola alakú, amely a \(\displaystyle v=v_\text{max}\)-nak megfelelő \(\displaystyle O\) pontnál véget ér. Az erő a minimális értékét itt éri el (a megbeszélt értelemben ,,végtelen'' idő múlva):
\(\displaystyle F_{\text{min}}=mg\sin\alpha.\)
Ekkora erő nyilván kell a lejtőn való visszacsúszás megakadályozására. A hiperbola szaggatottan jelölt részébe soha nem juthatunk el, az ezeknek megfelelő állapotok nem valósulnak meg.
2. ábra
Statisztika:
21 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Albert Máté, Bonifert Balázs, Dóra Márton, Fonyi Máté Sándor, Gurzó József, Ludányi Levente, Ruzsa Bence, Varga Vázsony. 4 pontot kapott: Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Köpenczei Csanád. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2021. februári fizika feladatai