Problem P. 5307. (March 2021)

P. 5307. The pumping rate of a pump is 150 cm\(\displaystyle {}^3\)/s. How long does it take to decrease the pressure of the air in a 3-litre container from the normal atmospheric pressure of \(\displaystyle 10^5\) Pa to one-thousands of this value by pumping out the air isothermally?

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. A szivattyú szívássebességét értelmezhetjük úgy, hogy a 3000 cm\(\displaystyle ^3\) térfogatú gázt (egy szelepekkel ellátott dugattyú segítségével) minden másodpercben 3150 cm\(\displaystyle ^3\)-re tágítjuk, vagyis a nyomását izotermikusan

\(\displaystyle p'=\frac{3000}{3150},p_0=0{,}952\,p_0\)

értékre csökkentjük. Ezt \(\displaystyle N\)-szer megismételve a nyomás akkor csökken az eredeti érték ezred részére, ha

\(\displaystyle 0{,}952^N=10^{-3},\)

vagyis

\(\displaystyle N=\frac{\log 10^{-3}}{\log 0{,}952}\approx 142.\)

A kívánt nyomáscsökkenés tehát kb. 142 s, vagyis 2,4 perc alatt valósítható meg.

A nyomás csökkentése kisebb lépésekben is megoldható. Ha például 0,1 másodpercenként 15 cm\(\displaystyle ^3\) levegőt szivattyúztunk ki a lombikból, akkor egy-egy lépés során a nyomás

\(\displaystyle \frac{p'}{p_0}=\frac{3000}{3015}=0{,}995\)

arányban csökken, akkor a lépések száma:

\(\displaystyle N=\frac{\log 10^{-3}}{\log 0{,}995}\approx 1385,\)

tehát a szivattyúzás ideje 138,5 másodperc, azaz kb. 2,3 perc lesz.

II. megoldás. Ha másodpercenként 150 cm\(\displaystyle ^3\)-t szivattyúzunk ki állandó hőmérséklet mellett a 3000 cm\(\displaystyle ^3\)-es lombikból, akkor másodpercenként 150/3000 = 1/20-ával csökken a nyomás. Tehát a nyomás egy kicsiny \(\displaystyle \Delta t\) időre vonatkoztatott csökkenése:

\(\displaystyle \frac{\Delta p }{\Delta t} = - p(t) \cdot \frac{1}{20~\rm s},\)

vagyis (folytonos működésű szivattyúnál) a nyomás csökkenését meghatározó differenciálegyenlet:

\(\displaystyle p'(t)=-\lambda\,p(t),\)

ahol \(\displaystyle \lambda=\frac{1}{20~\rm s}\). A nyomás csökkenésének egyenlete ugyanolyan alakú, mint a radioaktív bomlások \(\displaystyle m'(t)=-\lambda\,m(t)\) egyenlete, tehát a megoldása is ahhoz hasonló:

\(\displaystyle p(t)=p_0\, {\rm e}^{-\lambda t}.\)

Esetünkben a szivattyúzás \(\displaystyle T\) idejére fennáll

\(\displaystyle 10^{-3}p_0=p_0\, {\rm e}^{-\lambda T},\)

ahonnan

\(\displaystyle T=\frac{\ln 10^{-3}}{\lambda}=138{,}2~{\rm s}\approx2{,}3~{\rm perc}.\)

Statistics:

66 students sent a solution.
4 points:	Bagu Bálint, Albert Máté, Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Bonifert Balázs, Bubics Gergely Dániel, Csonka Illés, Dóra Márton, Gurzó József, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Kertész Balázs, Köpenczei Csanád, Mócza Tamás István, Mozolai Bende Bruno, Németh Kristóf, Perényi Barnabás, Puskás Attila, Ruzsa Bence, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Simon László Bence, Sulok Yahyaa, Szabó Márton, Szirmai Dénes, Tanner Norman, Toronyi András, Varga Vázsony.
3 points:	Boda Benedek János, Kaltenecker Balázs Bence, Ludányi Levente, Viczián Máté.
1 point:	4 students.
0 point:	24 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, March 2021