Problem P. 5310. (March 2021)
P. 5310. An equilateral triangle is formed from a piece of insulated wire such that it can be rotated frictionlessly along the horizontal axis of \(\displaystyle OO'\). The wire is rigid and its mass per unit length is \(\displaystyle \lambda\). Initially the plane of the triangle is vertical, and it is in uniform vertical upward magnetic field of induction \(\displaystyle \boldsymbol B\). At a certain moment a voltage supply is connected to the system thus a current of \(\displaystyle I\) starts to flow in the wire. (Neglect the inductance of the wire.)
\(\displaystyle a)\) At what acceleration does the horizontal side of the triangle begin to move?
\(\displaystyle b)\) After a long enough time what will the angle between the plane of the triangle and the vertical be?
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a háromszög oldalainak hossza \(\displaystyle \ell\). Ekkor a drótkeret tömege \(\displaystyle 3\lambda\ell\), az \(\displaystyle OO'\) tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka pedig
\(\displaystyle \Theta= \lambda\,\ell \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\ell\right)^2+\frac{\lambda\,\ell}{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\ell\right)^2 +\frac{\lambda\,\ell}{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\ell\right)^2=\frac{5}{4}\lambda\,\ell^3. \)
\(\displaystyle a)\) A \(\displaystyle T=\frac{\sqrt{3}}{4}\,\ell^2\) területű, \(\displaystyle I\) erősségű árammal átjárt drótháromszög mágneses dipólnyomatékának nagysága
\(\displaystyle \vert{\boldsymbol m}\vert=IT=\frac{\sqrt{3}}{4}I\ell^2.\)
Közvetlenül az áram bekapcsolása után \(\displaystyle {\boldsymbol m}\) vízszintes, így a drótháromszögre ható forgatónyomaték nagysága:
\(\displaystyle M=\vert {\boldsymbol m}\times {\boldsymbol B}\vert =\vert {\boldsymbol m}\vert\,B=\frac{\sqrt{3}}{4}BI \ell^2.\)
Ekkora forgatónyomaték hatására a drótkeret
\(\displaystyle \beta=\frac{M}{\Theta}=\frac{\sqrt{3}}{5}\,\frac{BI}{\lambda\ell}\)
szöggyorsulással indul el, tehát a vízszintes oldalának gyorsulása
\(\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}\ell\,\beta=\frac{3}{10}\frac{BI}{\lambda}.\)
\(\displaystyle b)\) Elegendő hosszú idő alatt a drótkeret lengései lecsillapodnak. Egyensúlyi állapotban a mágneses mező forgatónyomatéka az \(\displaystyle OO'\) tengelyre ugyanakkora, mint a nehézségi erő forgatónyomatékának nagysága. A függőlegeshez képest \(\displaystyle \varphi\) szögkitérés esetén
\(\displaystyle \vert {\boldsymbol m}\times {\boldsymbol B}\vert=\vert {\boldsymbol m}\vert B\cos\varphi= \frac{\sqrt{3}}{4} I\ell^2B\cos\varphi=3\lambda\ell g\cdot \frac{2}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\ell\sin\varphi,\)
ahonnan
\(\displaystyle {\rm tg}\,\varphi=\frac14\,\frac{BI}{\lambda g}.\)
Statistics:
29 students sent a solution. 5 points: Biebel Botond, Kertész Balázs, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Mozolai Bende Bruno, Puskás Attila, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Török 111 László. 4 points: Antalóczy Szabolcs, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Gurzó József, Hauber Henrik, Juhász Márk Hunor, Mócza Tamás István, Páhán Anita Dalma, Sas 202 Mór, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 3 points: 2 students. 2 points: 2 students. 1 point: 2 students. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, March 2021