Problem P. 5311. (March 2021)

P. 5311. The electric field at sea level is approximately 100 V/m, and the height of ionosphere is 10 km. The average magnetic induction of the Earth at sea level is \(\displaystyle 10^{-5}\) T, and its value is approximately indirectly proportional to the cube of the distance measured from the centre of the Earth. Estimate the order of the ratio of the magnetostatic and electrostatic energy around the Earth.

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle R\) sugarú Föld elektromos erőtere a földfelszín és a \(\displaystyle h\) magasságú ionoszféra közötti \(\displaystyle 4R^2\pi h\) térfogatú térrészben számottevő, és ott mindenhol \(\displaystyle E_0\) nagyságúnak tekinthető. Az elektrosztatikus energia a légkörben

\(\displaystyle W_\text{elektomos}=\frac{\epsilon_0}{2}\cdot4R^2\pi h\cdot E_0^2.\)

A mágneses mező energiasűrűsége \(\displaystyle B^2/(2\mu_0)\), ami a föld középpontjától mért \(\displaystyle r\) távolsággal \(\displaystyle (R/r)^6\) arányban csökken. Az a térfogat, amelyből a (Föld felszíne feletti) mágneses energia származik, nagyságrendileg a Föld térfogatával egyezik meg, hiszen \(\displaystyle B(r)\) gyors ütemben csökken. A mágneses energia nagyságrendi becslésénél tehát számolhatunk úgy, mintha \(\displaystyle 4R^3\pi/3\) térfogatban a földfelszíni \(\displaystyle B_0\)-lal megegyező nagyságú lenne az indukcióvektor nagysága, azon kívül pedig nulla:

\(\displaystyle W_\text{mágneses}=\frac{1}{2\mu_0}\cdot\frac{4R^3\pi}{3}\cdot B_0^2 .\)

A kétféle energia aránya:

\(\displaystyle \frac{W_\text{mágneses}}{W_\text{elektromos}}=\frac{1}{3\mu_0\varepsilon_0}\,\frac{R}{h}\,\left( \frac{B_0}{E_0} \right)^2= \frac{(3\cdot10^8)^2}{3}\,\frac{6400}{10}\,\left(\frac{10^{-5}}{100}\right)^2 \approx 200\,000.\)

A földi mágneses tér (annak a felszín feletti része) tehát öt nagyságrenddel több energiát hordoz, mint a légköri elektromosság.

Statistics:

23 students sent a solution.
5 points:	Bonifert Balázs, Gurzó József, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Szász Levente, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony.
4 points:	Horváth Antal.
3 points:	3 students.
2 points:	6 students.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2021