Problem P. 5316. (April 2021)

P. 5316. An \(\displaystyle m_2 = 1\) kg disc sliding at a speed of \(\displaystyle v_0= 5\) m/s collides head on with another disc of mass \(\displaystyle m_1\) resting on the horizontal rough tabletop. The coefficient of kinetic friction between the table and the discs of masses \(\displaystyle m_1\) and \(\displaystyle m_2\) are \(\displaystyle \mu_1 = 0.1\) and \(\displaystyle \mu_2 = 0.25\), respectively.

\(\displaystyle a)\) What is the mass of the initially stationary disc, if after the totally elastic collision the two discs stop at the same instant?

\(\displaystyle b)\) How far are they from each other when they stopped?

\(\displaystyle c)\) After the collision how much time elapses until the discs stop?

(5 pont)

Deadline expired on May 17, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A korongok sebessége a rugalmas ütközés után

\(\displaystyle v_1=\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_0, \qquad v_2=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_0.\)

(A sebességeket akkor tekintjük pozitívnak, ha a mozgás iránya megegyezik a \(\displaystyle v_0\) sebességű korong mozgásirányával.) Az ütközés utáni sebességek nagyságának aránya:

\(\displaystyle \frac{v_1}{\vert v_2\vert}=\frac{2\,m_2}{\vert m_2-m_1\vert}.\)

Az ütközés után mindkét test egyenletesen lassuló mozgással mozog, \(\displaystyle a_1=-\mu_1g\), illetve \(\displaystyle a_2=-\mu_2g\) ,,gyorsulással''. A két test akkor áll meg egyszerre, ha

\(\displaystyle \frac{v_1}{\vert v_2\vert}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{\mu_1}{\mu_2}=0{,}4.\)

A továbbiakban két esetet kell megkülönböztetnünk.

I. eset: \(\displaystyle m_1>m_2\), tehát az ütköző (2-es jelű) test sebessége az ütközés során irányt vált.

\(\displaystyle a)\) A két korong akkor áll meg egyszerre, ha

\(\displaystyle \frac{2\,m_2}{m_1-m_2}=0{,}4,\qquad \text{vagyis}\qquad m_1=6\,m_2=6{,}0~\rm kg,\)

és az ütközés utáni sebességek:

\(\displaystyle v_1=1{,}43~\frac{\rm m}{\rm s};\qquad v_2=-3{,}57~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

\(\displaystyle b)\) Az ütközés után a két korong egymással ellentétes irányban mozog, és a megállásig megtett útjuk:

\(\displaystyle s_1=\frac{v_1^2}{2\mu_1g}=1{,}04~{\rm m},\qquad \qquad s_2=\frac{v_2^2}{2\mu_2g}=2{,}60~{\rm m}.\)

A korongok távolsága a megállás pillanatában:

\(\displaystyle d=s_1+s_2=3{,}64~{\rm m}=364~\rm cm.\)

\(\displaystyle c)\) A megállásig eltelő idő:

\(\displaystyle t=\frac{v_1}{\mu_1g}=\frac{\vert v_2\vert}{\mu_2g}=1{,}46~{\rm s}.\)

II. eset: Ha \(\displaystyle m_1<m_2\), akkor az ütközés után mindkét korong ugyanabban az irányban mozog tovább. Lehetséges-e, hogy egyszerre álljanak meg? Ennek feltétele az lenne, hogy

\(\displaystyle \frac{2\,m_2}{m_2-m_1}=0{,}4,\qquad \text{vagyis}\qquad m_1=-4\,m_2<0,\)

ami lehetetlen! Megállapíthatjuk tehát, hogy a megadott súrlódási együtthatók mellett a feladatnak csak egyetlen megoldása van, az ütközés után a két korong nem mozoghat azonos irányban.

Megjegyzés. Amennyiben \(\displaystyle \mu_1>2\mu_2\) teljesülne, akkor a feladatnak kétféle megoldása is lenne. Az egyikben a két korong az ütközés után ellentétes irányban kezd el mozogni, a másik megoldásban pedig ugyanolyan irányban indulnak el. A feladatban szereplő számadatoknál ez a feltétel nem teljesül, de ha – mondjuk – \(\displaystyle \mu_1\) és \(\displaystyle \mu_2\) számértékét felcserélnénk, a kétféle megoldás feltétele megvalósulna.

Statistics:

45 students sent a solution.
5 points:	Antalóczy Szabolcs, Bonifert Balázs, Csonka Illés, Dóra Márton, Fekete András Albert, Hauber Henrik, Horváth 221 Zsóka, Horváth 999 Anikó, Juhász Márk Hunor, Kaltenecker Balázs Bence, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Kovács Kinga, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Nemeskéri Dániel, Páhán Anita Dalma, Perényi Barnabás, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Strinyi Péter, Téglás Panna, Toronyi András, Török 111 László, Varga Vázsony, Viczián Máté.
4 points:	Biebel Botond, Csapó Tamás, Gábriel Tamás, Köpenczei Csanád, Sas 202 Mór, Szabó Márton, Tóth Ábel.
3 points:	3 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, April 2021