Problem P. 5319. (April 2021)
P. 5319. A uniform-density thin stick of length \(\displaystyle \ell\) and of mass \(\displaystyle m\) is made slide along a horizontal surface. At a certain moment the velocity of one end of the stick is \(\displaystyle \boldsymbol v_1\), whilst that of the other end is \(\displaystyle \boldsymbol v_2\). At this moment what is the
\(\displaystyle a)\) linear momentum of the stick;
\(\displaystyle b)\) angular momentum of the stick with respect to its centre of mass;
\(\displaystyle c)\) its total kinetic energy?
(5 pont)
Deadline expired on May 17, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A pálca végpontjainak pillanatnyi helyvektora (egy önkényesen választott \(\displaystyle O\) ponthoz viszonyítva) legyen \(\displaystyle \boldsymbol r_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol r_2\). A pálca felezőpontjába (tömegközéppontjába) mutató vektor:
\(\displaystyle \boldsymbol r_\text{tkp.}=\frac{ \boldsymbol r_1+\boldsymbol r_2 }{2}.\)
Ennek a vektornak a változási sebessége
\(\displaystyle \boldsymbol v_\text{tkp.}=\frac{ \boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2 }{2},\)
és így a pálca lendülete:
\(\displaystyle \boldsymbol I=m \boldsymbol v_\text{tkp.}=m\frac{ \boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2 }{2}.\)
Megjegyzés. A \(\displaystyle \boldsymbol v_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol v_2\) vektorok nem választhatók meg tetszőlegesen, mert a pálca hossza időben állandó, emiatt a két sebesség különbsége a pálcára merőleges kell hogy legyen. Ha \(\displaystyle \boldsymbol \ell\) a pálca egyik végétől a másik végéig mutató vektor, akkor a pálca hosszának állandóságát kifejező vektoregyenlet:
\(\displaystyle \left(\boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2\right)\cdot \boldsymbol \ell=0,\qquad\text{azaz}\qquad \boldsymbol v_1\cdot \boldsymbol \ell= \boldsymbol v_2\cdot \boldsymbol \ell.\)
A fenti képletekben a ,,pont'' a vektorok skaláris szorzatát jelöli.
\(\displaystyle b)\) A végpontoknak a tömegközépponthoz viszonyított sebessége:
\(\displaystyle \boldsymbol u_1= \boldsymbol v_1 -\boldsymbol v_\text{tkp}=\frac{\boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2}{2},\)
illetve
\(\displaystyle \boldsymbol u_2= \boldsymbol v_2 -\boldsymbol v_\text{tkp.}=\frac{\boldsymbol v_2-\boldsymbol v_1}{2}=-\boldsymbol u_1.\)
A pálca tehetetlenségi nyomatéka
\(\displaystyle \Theta=\frac{m\ell^2 }{12},\)
a szögsebessége pedig
\(\displaystyle \omega=\frac{\vert \boldsymbol u_1 \vert}{\ell/2}=\frac{1}{\ell}\vert \boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2 \vert,\)
és így a tömegközéppontra vanatkoztatott perdülete:
\(\displaystyle N=\Theta\omega=\frac{m\ell}{12}\vert \boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2 \vert.\)
A perdületet egy – a síkra merőleges – vektorként is értelmezhetjük, ami \(\displaystyle \boldsymbol\ell=\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2\) segítségével így adható meg:
\(\displaystyle \boldsymbol N= \frac{1}{12}m\,\boldsymbol \ell\times\left( \boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2\right).\)
(A ,,kereszt'' a vektoriális szorzatot jelöli. )
\(\displaystyle c)\) A pálca teljes mozgási energiája a tömegközépponthoz tartozó mozgási energia és a forgási energia összegeként adható meg:
\(\displaystyle E_{\text{összes}}=E_{\text{tkp.}}+E_{\text{forgás}}=\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}^2_{\text{tkp.}}+\frac{1}{2}\Theta\omega^2.\)
A korábban kiszámított értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy
\(\displaystyle E_{\text{összes}} =\frac{m}{8}\, \left(\boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2\right)^2+\frac{m}{24} \left(\boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2\right)^2=\frac{m}{6}\, \left(v_1^2+v_2^2+\boldsymbol v_1\cdot\boldsymbol v_2 \right).\)
Statistics:
27 students sent a solution. 5 points: Bonifert Balázs, Gábriel Tamás, Horváth 999 Anikó, Köpenczei Csanád, Somlán Gellért, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 4 points: Barna Benedek, Gurzó József, Hauber Henrik, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Ludányi Levente, Páhán Anita Dalma, Sas 202 Mór, Szász Levente, Téglás Panna. 3 points: 2 students. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, April 2021