Problem P. 5324. (April 2021)

P. 5324. Some rock mined in one shift in a uranium mine near Kinshasa in Central Africa contained 10 tons of pitchblende (\(\displaystyle \mathrm{U}_3\mathrm{O}_8\)).

Estimate the amount of radium in the rock.

(5 pont)

Deadline expired on May 17, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A természetes urán legnagyobb része 238-as izotóp, aminek a bomlási sorában a rádium 226-os izotópja jelenik meg. Az \(\displaystyle \rm U_3O_8\) moláris tömege: \(\displaystyle 3\cdot 238+8\cdot 16=842\) g/mol, a rádiumé 226 g/mol. 10 tonna uránszurokércben az urán tömege:

\(\displaystyle m_{\rm U}=\frac{3\cdot 238}{842}\cdot 10~{\rm tonna}=8{,}48\cdot10^3~{\rm kg},\)

az urán atommagok mennyisége tehát

\(\displaystyle n_{\rm U}=\frac{8{,}48\cdot10^3~{\rm kg}}{238~~\rm g/mol}=3{,}56~\cdot10^4~{\rm mol}. \)

Az urán 238 felezési ideje \(\displaystyle 4{,}5\cdot10^9~\text{év}\), a rádiumé 1600 év. A rádium mennyiségét – egyensúlyi állapotban – az szabja meg, hogy időegységenként ugyanannyi uránmag bomlik el, mint amannyi rádium. Ez a két aktivitás akkor egyezik meg, ha

\(\displaystyle \frac{n_{\rm Ra}}{n_{\rm U}}=\frac{T^{1/2}_{\rm Ra}}{T^{1/2}_{\rm U}}, \)

vagyis a rádium mennyisége:

\(\displaystyle n_{\rm Ra}=\left(3{,}56~\cdot10^4~{\rm mol}\right)\cdot\frac{1600~\text{év}}{4{,}5\cdot10^9~\text{év}}=0{,}0127~\rm mol, \)

és így a rádium tömege:

\(\displaystyle m_{\rm Ra}=\left(0{,}0127~{\rm mol}\right)\cdot 226~\frac{\rm g}{\rm mol}=2{,}87~{\rm g}\approx 3~{\rm g}.\)

Statistics:

22 students sent a solution.
5 points:	Barna Benedek, Bonifert Balázs, Dózsa Levente, Fekete András Albert, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Perényi Barnabás, Sas 202 Mór, Somlán Gellért, Toronyi András, Török 111 László, Varga Vázsony.
4 points:	Koleszár Benedek, Téglás Panna.
2 points:	1 student.
1 point:	4 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, April 2021