Problem P. 5326. (May 2021)

P. 5326. An object is dropped from a tower of unknown height, and it falls freely. Air drag is negligible.

\(\displaystyle a)\) Imagine we divide the height of the tower into two equal parts. Determine the ratio of the average speeds calculated for the two parts.

\(\displaystyle b\)) How should the height of a 45 m high tower be split into two parts in order that the average speed calculated for the second part be four times as much as that calculated for the first part?

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Legyen a torony magassága \(\displaystyle h\). A test sebessége a torony tetejénél \(\displaystyle v_0=0\), a közepénél (\(\displaystyle H/2\) magasságban) \(\displaystyle v_1=\sqrt{gh},\) az aljánál pedig \(\displaystyle v_2=\sqrt{2gh}.\)

Egyenletesen gyorsuló mozgásnál a sebesség az idő lineáérisan változó függvénye, így az átlagsebesség a kezdeti és a végső sebesség számtani közepe:

\(\displaystyle \overline{v}_1=\frac{v_0+v_1}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{gh},\qquad\text{illetve}\qquad \overline{v}_2=\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\sqrt{gh}.\)

A két átlagsebesség aránya:

\(\displaystyle \frac{\overline{v}_2}{\overline{v}_1}=1+\sqrt{2}\approx 2{,}4.\)

\(\displaystyle b)\) Legyen az osztáspont a torony tetejétől \(\displaystyle x\) távolságban. Ekkor \(\displaystyle v_1=\sqrt{2gx}\) és \(\displaystyle v_2=\sqrt{2gh},\) tehát az átlagsebességek:

\(\displaystyle \overline{v}_1=\frac{v_0+v_1}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2gx},\qquad\text{illetve}\qquad \overline{v}_2=\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{\sqrt{2gx} + \sqrt{2gh}} {2} .\)

A megadott \(\displaystyle 1:4\) arány akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{h}=4\sqrt{x},\qquad \text{azaz}\qquad \sqrt{x}=\frac{1}{3}\sqrt{h},\)

vagyis \(\displaystyle x=\frac{h}{9}=5~\rm m.\)

Statistics:

43 students sent a solution.
4 points:	Albert Máté, Antalóczy Szabolcs, Beke Bálint, Bonifert Balázs, Csapó Tamás, Csonka Illés, Dóra Márton, Fekete András Albert, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Juhász Márk Hunor, Kaltenecker Balázs Bence, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Kovács Benedek Noel, Kovács Kinga, Köpenczei Csanád, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Mozolai Bende Bruno, Páhán Anita Dalma, Perényi Barnabás, Puskás Attila, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László.
3 points:	Horváth 221 Zsóka, Selmi Bálint, Strinyi Péter, Szabó Márton, Szász Levente, Tanner Norman.
2 points:	1 student.
1 point:	4 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, May 2021